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mat 1681 MATHÉMATIQUES ASSISTÉES PAR ORDINATEUR Yvan SAINT-AUBIN Alexandre GIRO

mat 1681 MATHÉMATIQUES ASSISTÉES PAR ORDINATEUR Yvan SAINT-AUBIN Alexandre GIROUARD Laurent DELISLE janvier 2010 Préface La familiarité des étudiants avec l’informatique étant variable, nous avons entrepris d’écrire ces notes pour accompagner le cours de Mathématiques assistées par ordinateur. Notre but était d’aider ceux qui n’avait aucune connaissance préalable des ordinateurs et permettre à ceux qui sont débrouillards d’être pratiquement indépendants des cours ma- gistraux. Nous avions, les deux, écrits d’autres textes précédemment mais aucun ne rem- plissait directement ce but. La généalogie de notre texte est – Y. Saint-Aubin, Cahier d’exercices pour le laboratoire de Mathematica (mat 3681), notes de cours, Université de Montréal, septembre 1991 – Y. Saint-Aubin, Calcul et Mathematica (mat 1440p), notes de cours, Université de Mont- réal, septembre 1994 – A. Girouard, MAT 1681 : Mathématiques assistées par ordinateur, page web, Université de Montréal, automne 2000. – A. Girouard, Y. Saint-Aubin, Mathématiques assistées par ordinateur (mat 1681), pre- mière version partielle, Université de Montréal, septembre 2001 Le rejeton doit beaucoup à ses aïeux. Rome n’a pas été construite en un jour et visiblement un été n’aura pas été sufﬁsant pour faire une première version de ces notes selon les plans que nous nous étions tracés. Nous pensons cependant que, malgré leur caractère rudimentaire et incomplet, elles peuvent rendre service. De plus, vos commentaires nous seront précieux pour terminer notre tâche et améliorer notre premier jet. Un espoir (probablement naïf) est de faire de ces notes un projet ouvert. Peut-être que quelqu’un voudra se joindre aux auteurs pour les améliorer, en faire une version internet, une version pdf, etc. Alexandre Girouard et Yvan Saint-Aubin Montréal, septembre 2001 Une seconde mouture, enﬁn ! De nouvelles sections ont été ajoutées : les primitives gra- phiques, les fonctions récursives et avec mémoire, et l’animation. Des notes sur des points ﬁns, annoncés par un « ! », ou plus avancés « ! ! » ont été introduites et le nombre d’exercices a été grandement augmenté. Laurent Delisle et Yvan Saint-Aubin Montréal, août 2008 Cette fois, quelques petits remaniements, mais surtout de nouveaux exercices. Laurent Delisle et Yvan Saint-Aubin Montréal, août 2009 Table des matières Table des matières v 1 Cours 1 1 1.1 Grammaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Expressions et syntaxe élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Fonctions I : déﬁnition élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Graphisme I : graphe de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Expressions booléennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Cours 2 19 2.1 Grammaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Listes I : application à l’algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 Fonctions II : fonction conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.3 Graphisme II : primitives graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Cours 3 53 3.1 Grammaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.1 Équations et règles de substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.2 Programmation procédurielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4 Cours 4 77 4.1 Grammaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1.1 Fonctions III : fonctions pures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1.2 Listes II : manipulation de listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.3 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 v vi TABLE DES MATIÈRES 5 Cours 5 97 5.1 Grammaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.1.1 Fonctions IV : récursion et fonctions avec mémoire . . . . . . . . . . . 97 5.1.2 Graphisme III : animation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Cours 1 1.1 Grammaire 1.1.1 Expressions et syntaxe élémentaires Tous les objets avec lesquels Mathematica travaille sont des expressions. Ce seront par exemples des fonctions, des équations, des graphiques ou des listes. Dans ce premier cours la syntaxe des expressions les plus simples sera exposée. Arithmétique élémentaire Il est possible d’utiliser Mathematica comme une grosse calcu- latrice symbolique. In[1]:= 1+1 Out[1]= 2 In[2]:= (15-3)/2*2 Out[2]= 12 In[3]:= 3/(2+2) 3 Out[3]= -- 4 Il vous sera possible de manipuler des nombres beaucoup plus grands, et de façon beau- coup plus précise que vous ne le pourriez avec une calculatrice ! 1 Le mot symbolique signiﬁe que vous pouvez travailler avec les objets mathématiques directement plutôt que de devoir utiliser des approximations numériques. Par exemple, Mathematica comprend la fraction 3 4. 1. Mathematica pourra même calculer plus précisément que ne le permet directement le processeur de votre or- dinateur. Mathematica utilise l’arithmétique à précision indéﬁnie. Contrairement à votre calculatrice qui maintient dans ses registres environ une uploads/Litterature/ ma-thematic-a.pdf