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Chap2 strcturesalgebriques pdf

Chapitre Structures Algébriques Ce chapitre sur les Structures Algébriques est la base du programme d ? algèbre Les concepts qui y seront vus vous seront nécessaires tout au long des trois semestres d ? algèbre et appara? tront même dans le programme d ? analyse mathématique Par Cours Structures algébriques par AIT AMRANE R - Résumé par BELFODIL Aymen BELFODIL Adnane Page CTABLE DES MATIERES Lois de compositions internes Dé ?nition LCI Loi de Composition Interne Dé ?nition LCI Stable Propriétés Associativité Commutativité élément neutre élément Symétrique Autres Notions élément absorbant élément simpli ?able élément neutre à gauche resp à droite élément Symétrique à gauche resp à droite Groupes Dé ?nition Groupe Théorème Sous-Groupes Dé ?nition Dé ?nition Théorème Morphisme de Groupe Dé ?nition Proposition Proposition Noyau et Image d ? un Morphisme Anneaux Dé ?nition Loi distributivité Dé ?nition Anneau Proposition Proposition Page C Sous-Anneau Morphisme d ? Anneau Binôme de Newton et autres Corps Dé ?nition Dé ?nition Sous-Corps Morphisme de Corps Page C LOIS DE COMPOSITIONS INTERNES DEFINITION LCI LOI DE COMPOSITION INTERNE Soit E un ensemble On appelle loi de composition interne Opération interne sur E une application de E x E dans E qu ? on note qui à tout couple fait correspondre un élément de noté REMARQUE la loi de composition interne peut être noté par symboles ou autres Exemple Les lois de compositions internes les plus courantes sont addition multiplication sont des lois internes sur et composition des applications de dans noté intersection réunion dans ensembles des parties de l ? ensemble DEFINITION LCI STABLE Soit un ensemble un sous ensemble de On dit qu ? une loi de composition interne sur est stable dans si et seulement si Exemple ?? ? addition multiplication dans sont des lois de composition stable dans la ?? ? division est une loi de composition interne dans n ? est pas stable dans On a Page C PROPRIETES Soit un ensemble une Loi de composition interne dans ASSOCIATIVITE associative dans COMMUTATIVITE commutative dans ELEMENT NEUTRE admet un élément neutre dans ELEMENT SYMETRIQUE Un élément de admet un symétrique dans relativement à si et seulement si AUTRES NOTIONS ELEMENT ABSORBANT Soit un LCI sur E un élément est dit absorbant relativement à ssi cette élément est en plus unique et non symétrisable Preuve Soient deux éléments absorbants distincts de donc et remplaçons par dans et par dans et ainsi ce qui est absurde il est évident que on suppose que symétrisable donc comme est absorbant on a ce qui est absurde ELEMENT SIMPLIFIABLE Soit un LCI sur E On dit que est un élément de E est simpli ?able ssi Simpli ?able à Gauche et Simpli ?able à Droite Remarque Tout élément symétrisable est simpli ?able ELEMENT NEUTRE A GAUCHE RESP A DROITE On dit que est neutre à gauche resp neutre à droite ssi resp Page C ELEMENT SYMETRIQUE A GAUCHE RESP A DROITE On dit que est symétrisable à gauche resp à droite ssi resp Page