Math-F-112 — Module T Mathématiques 2018–2019 Informations au lecteur Le présen

Math-F-112 — Module T Mathématiques 2018–2019 Informations au lecteur Le présent document fait partie du syllabus pour le cours Math-F-112 pour l’année 2018–2019. Il reprend essentiellement les notes de cours de Nicolas Richard avec quelques ajouts et modifications. Le cours se décline en différents modules, chacun suivi par une sélection de sections : Module T (60h) BIOL1, CHIM1, GEOG1, GEOL1, INFO1, IRBI1, SCIE1 Module S (30h) BIOL1, CHIM1, IRBI1, SCIE1 + Autres années 1 Module SI (30h) INFO1 Le syllabus se découpe donc en fascicules, chacun couvrant l’un des modules du cours. Chaque fasci- cule contient la table des matières et un index pour l’ensemble des modules T, S et SI. Le numéro de chaque page est préfixé par le nom du module, afin de savoir à quel fascicule il correspond. Quand un terme est introduit, il est en général indiqué en italique et rappelé dans la marge. Par exemple : l’italique est une forme d’écriture qui consiste à pencher les caractères par rapport à leur italique forme normale. Ce sont ces termes qui forment l’index, en fin de document. Une version électronique de ce document est disponible (au format PDF), et présente deux avan- tages non-négligeables : ∗il est « cherchable », c’est-à-dire que par exemple grâce au raccourci clavier bien connu Control- f, il est possible de chercher dans le texte du document ; et ∗il est « cliquable », en ce sens que les références internes sont des liens hypertextes permettant de se déplacer dans le document par un clic de souris. (Cette version contient accessoirement des passages en couleur.) La version papier du document présente quant à elle tous les avantages du papier, comme par exemple : ∗il s’emporte facilement, partout, ∗il est simple à annoter, commenter, surligner, etc. Notons enfin que le présent document souffre d’un problème. Chacun le sait : il suffit que des explications manquent pour que les mathématiques paraissent insurmontables. Il est intéressant de savoir que le même effet peut être obtenu en donnant trop d’explications. Noyer le poisson dans le flot des détails est particulièrement néfaste pour la compréhension. Le juste milieu, l’équilibre, dépend de chaque apprenant-e et est complexe à déterminer. Par ailleurs, un syllabus s’adressant à tou-te-s les étudiant-e-s, il est impossible de s’adapter à la situation de chacun-e. C’est pourquoi les lecteur-trices sont invité-e-s à avoir une lecture particulièrement active. Si des informations semblent manquer ou si des informations semblent contradictoires, les enseignant-e-s sont là pour répondre aux questions. Le présent fascicule concerne le module T. 1. Les sections « Autres années » correspondent aux étudiants qui ont déjà suivi la première partie du cours en BA1, et peuvent suivre la seconde partie du cours en option (dont GEOL2, GEOG2, GEOG3). T-3 Table des matières Module T I Préliminaires T-11 1 Définitions, résultats et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-11 1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-11 1.2 Résultats : théorèmes, lemmes, corollaires, axiomes, . . . . . . . . . . . . . . . . T-11 1.3 Notations et variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-12 1.4 Alphabets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-12 2 Logique, rigueur et notion de preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-13 3 Manipuler le vrai et le faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-14 3.1 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-15 3.1.1 Et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-15 3.1.2 Ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-15 3.1.3 Négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-15 3.1.4 Implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-15 3.1.5 Équivalence (ou bi-implication) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-16 3.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-16 3.2.1 Pour tout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-16 3.2.2 Il existe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-17 3.2.3 Négation et quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-17 3.3 Tables de vérités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-17 3.4 Raisonnements et preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-18 3.4.1 Tiers-exclus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-19 3.4.2 Démonstration par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-19 3.4.3 Contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-19 3.4.4 Démonstration par récurrence / induction . . . . . . . . . . . . . . . T-19 3.4.5 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-20 II Les nombres T-21 1 Une classification des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-21 2 Relations entre les nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-23 2.1 Inégalités et notion d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-23 2.2 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T-24 2.3 Pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ math-f-112-t.pdf

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