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Jacques BAIR Université de Liège Roland HINNION Université Libre de Bruxelles D

Jacques BAIR Université de Liège Roland HINNION Université Libre de Bruxelles Daniel JUSTENS Institut Cooremans S. B. P. M. Applications économiques au service de la mathématique Société Belge des Professeurs de Mathématique d’expression française 1989 Avant-propos La Société Belge des Professeurs de Mathématique d’expression française a un rôle primordial : l’amélioration de l’enseignement de la mathématique. Cela l’a amenée à publier elle-même de nombreux ouvrages. Qu’il me suﬃse de rappeler les documents de la série RENOVER, « Les nombres transcen- dants » par C. Radoux et les deux tomes des « Olympiades mathématiques belges ». Ce qui caractérisera l’enseignement de notre discipline pendant la se- conde moitié du vingtième siècle n’est peut-être pas le ﬂux des réformes et des contre-réformes qui se succèdent depuis bientôt trente ans, mais plutôt le fait que la mathématique, réservée auparavant aux physiciens et aux ingénieurs, est maintenant un outil essentiel pour les chimistes, biologistes, psychologues, agronomes, économistes,... D’autre part, le nombre d’étudiants fréquentant les Facultés de sciences économiques et les Instituts supérieurs de commerce, a connu une progres- sion spectaculaire. Il était donc opportun de publier un recueil qui montre diﬀérents aspects des applications de la mathématique à l’économie. L’ouvrage comporte cinq chapitres. Les trois premiers sont l’œuvre de Jacques Bair, qui enseigne à l’Université de Liège. La matière traitée re- prend pour l’essentiel les conférences faites par l’auteur aux congrès de la SBPMef et à d’autres tribunes. Daniel Justens est spécialiste de la mathématique ﬁnancière. Il enseigne à l’Institut d’Enseignement Supérieur Lucien Cooremans et a rédigé le cha- pitre IV. Enﬁn, Roland Hinnion se consacre particulièrement à l’étude des points ﬁxes. Il enseigne à l’Université Libre de Bruxelles et est l’auteur du dernier chapitre. i ii Si, à l’aide de cet ouvrage, les professeurs peuvent se familiariser avec de nouvelles applications de leur discipline et si, en outre, ils y trouvent matière à parfaire la préparation de leurs élèves à l’Enseignement Supérieur, le travail n’aura pas été inutile. J. Wilmet Président de la SBPMef c ⃝SBPMef 1989 Table des matières 0 Historique sommaire des rapports entre Mathématiques et Economie. 1 1 Aperçu de l’usage du calcul matriciel dans les sciences hu- maines 5 1.1 Quelques matrices usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Matrices de commandes . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Matrices de prix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Matrices et théorie des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Matrice booléenne associée à un graphe . . . . . . . . 8 1.2.3 Dénombrement des chemins de longueur donnée . . . 9 1.3 Analyse input-output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Solution globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Signiﬁcation économique de la solution . . . . . . . . . 11 1.4 Quelques exemples simples de modèles linéaires . . . . . . . . 13 1.4.1 Equilibre du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2 Ajustement linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3 Un modèle keynésien simple pour le revenu national . 15 1.5 Initiation à la théorie des jeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 iii iv Table des matières 1.5.2 Exemple d’un jeu strictement déterminé . . . . . . . . 17 1.5.3 Exemple d’un jeu non strictement déterminé . . . . . 17 1.6 Exemples d’introduction aux chaînes de Markov . . . . . . . . 18 1.6.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.2 Premier exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6.3 Deuxième exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7 Introduction élémentaire à la programmation linéaire . . . . . 21 1.7.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7.2 Exemple à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7.3 Méthode algébrique de résolution pour 3 variables et plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Applications statiques de l’analyse mathématique 27 2.1 Exemples de fonctions explicites . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1 Fonctions de coût . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2 Fonctions de demande . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.3 A propos du revenu brut . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.4 Fonctions d’utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.5 Fonctions de production . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Exemples de fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.1 Courbe d’indiﬀérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.2 Isoquante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.3 Chemin d’expansion et classiﬁcation des facteurs de production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3 Applications de l’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3.1 Impôt sur le revenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3.2 Surplus du consommateur et du producteur . . . . . . 54 2.3.3 Productivité physique marginale du capital . . . . . . 57 2.4 Quelques problèmes d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4.1 Distribution des programmes optimaux en program- mation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4.2 Problèmes d’optimisation dans la théorie du consom- mateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Table des matières v 2.4.3 Elaboration d’un plan optimal de production . . . . . 67 2.4.4 Un modèle simple pour la gestion d’un stock . . . . . 72 3 Modèles dynamiques en économie 75 3.1 Quelques modèles discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.1.1 Valeur d’un capital placé à intérêts composés . . . . . 76 3.1.2 Modèle de Harrod pour l’analyse du revenu national 77 3.1.3 Modèle du cobweb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.1.4 La suite de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ mathematique-pour-l-x27-economie.pdf