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Bibm@th.net Rechercher sur le site... Ressources mathématiques > Base de données d'exercices > Exercices d'algèbre linéaire > Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices > Exercices corrigés - Matrices Produit de matrices Exercice 1 - Produits possibles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On considère les matrices suivantes: Quels sont les produits matriciels possibles? Quelles sont les matrices carrées et les matrices symétriques? Indication Pour multiplier deux matrices, il faut que le nombre de colonnes de la première vaut le nombre de lignes de la seconde. Corrigé On peut effectuer les produits . Seules les matrices et sont carrées, et seule la matrice est symétrique. Exercice 2 - Des calculs de produits [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Calculer lorsqu'ils sont définis les produits et dans chacun des cas suivants : 1. 2. 3. Indication Pour que le produit soit bien défini, il faut que le nombre de colonnes de soit égal au nombre de lignes de . Corrigé 1. Puisque et sont deux matrices carrées de même ordre, les deux produits et sont possibles. On trouve : En particulier, alors que ni ni ne sont nuls. 2. Le produit n'est pas défini car a trois colonnes et deux lignes. Pour , on trouve 3. Le produit n'est pas défini. En revanche, on a Exercice 3 - Commutant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soient et des réels non nuls, et Trouver toutes les matrices qui commutent avec , c'est-à-dire telles que . Indication Prendre une matrice quelconque, et calculer les produits et . Corrigé Soit une telle matrice. On a : Puisque , on obtient le système : On résout ce système pour trouver que et . Toutes les matrices qui conviennent sont celles de la forme : Exercice 4 - Annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On considère les matrices , et . Calculer , . Que constate-t-on? La matrice peut-elle être inversible? Trouver toutes les matrices telles que (où désigne la matrice nulle). Indication On doit trouver . Supposer inversible, et multiplier par . Corrigé On trouve : La matrice n'est pas inversible : si tel était le cas, on multiplierait à gauche par dans l'égalité , et on trouverait . Ce n'est pas le cas! Pour la seconde partie, on considère une matrice vérifiant les propriétés précitées : Le calcul de donne : Puisque , on a le système suivant : Les matrices recherchées sont donc les matrices de la forme : Exercice 5 - Produit non commutatif [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Déterminer deux éléments et de tels que : et . Indication Corrigé Les matrices conviennent. Exercice 6 - Matrices stochastiques en petite taille [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On dit qu'une matrice est une matrice stochastique si la somme des coefficients sur chaque colonne de est égale à 1. Démontrer que le produit de deux matrices stochastiques est une matrice stochastique si . Reprendre la question si . Indication Corrigé Écrivons et de sorte que On vérifie alors facilement que En dimension 3, le calcul est similaire. On écrit cette fois et de sorte que La somme des coefficients sur la première colonne vaut donc Exercice 7 - Puissance -ième, par récurrence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Calculer la puissance -ième des matrices suivantes : Indication Calculer les premières puissances pour deviner la formule donnant ou . Démontrer cette formule par récurrence. Corrigé On va commencer par calculer les premiers termes de pour essayer de deviner la formule. On a On démontre alors par récurrence sur que La preuve par récurrence est très simple, et repose simplement sur le fait que . On fait la même chose pour : On démontre alors, par récurrence sur , que Exercice 8 - Puissance -ième - avec la formule du binôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit Calculer pour tout . En déduire . Indication Commencer par calculer , , etc... Pour calculer , on peut utiliser la formule du binôme de Newton car et commutent. Corrigé On commence par calculer les premières valeurs de . On a On en déduit alors par récurrence que, pour tout , on a . En effet, c'est vrai pour . Si c'est vrai au rang , alors Pour obtenir , on écrit et on remarque que et commutent puisque . On peut alors appliquer la formule du binôme de Newton, ce qui est très facile ici puisque dès que . On en déduit ce qui se réécrit en On a donc Exercice 9 - Matrices stochastiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit deux matrices telles que la somme des coefficients sur chaque colonne de et sur chaque colonne de vaut (on dit qu'une telle matrice est une matrice stochastique). Montrer que la somme des coefficients sur chaque colonne de vaut . Indication Poser , , . Calculer en fonction des et des , faire la somme. Il apparait deux sommes, les permuter. Corrigé Posons , , . Alors, par définition, pour tous On veut démontrer que, pour tout , on a Calculons cette somme : La somme à l'intérieur est égale à 1 puisque est stochastique. Il reste où on utilise cette fois que est stochastique. Exercice 10 - Puissance -ième sans division euclidienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit la matrice 1. Calculer et en déduire une relation simple liant , et . 2. Soit et les suites définies par , , , . Démontrer que, pour tout , on a 3. Démontrer que, pour tout , on a . 4. En déduire que, pour tout , et . Indication 1. . 2. Procéder par récurrence. On pourra remarquer qu'on nous demande de démontrer que . 3. 4. Suite récurrente linéaire d'ordre deux : on doit introduire l'équation caractéristique... Corrigé 1. On vérifie facilement que et donc que . 2. On va raisonner par récurrence. Elle n'est pas si simple, et on peut remarquer que ce que l'on nous demande de démontrer est que, pour tout , . Pour , notons donc Alors est vérifiée pour tout . En effet, et sont clairement vérifiées, sachant que et . Soit tel que est vérifiée et prouvons . On a Utilisant la reation , on en déduit que La propriété est bien démontrée au rang . Par le principe de récurrence, est vraie pour tout entier . 3. Il suffit d'écrire 4. On a affaire à une suite récurrente linéaire d'ordre 2. Pour déterminer le terme général d'une telle suite, on introduit l'équation caractéristique , dont les racines sont et . On sait alors qu'il existe deux constantes et telles que, pour tout , on a . On détermine et en sachant que et , ce qui donne le système La résolution de ce système donne le résultat souhaité, et on en déduit très aisément l'expression de . Exercice 11 - Puissance -ième - avec un polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé 1. Pour , déterminer le reste de la division euclidienne de par . 2. Soit . Déduire de la question précédente la valeur de , pour . Indication 1. Écrire la formule donnée par la division euclidienne, et évaluer-la en les racines de . 2. Calculer . Corrigé 1. On sait que où est le reste dans la division euclidienne de par . Pour trouver la valeur de et , on évalue l'égalité précédente en les racines de , c'est-à-dire en et . On trouve le système : dont l'unique solution est et . 2. Il suffit de remarquer que . Remplaçant dans l'expression de la division euclidienne, on trouve Exercice 12 - Puissance -ième, avec polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit la matrice 1. Déterminer une relation simple liant et . 2. En déduire, pour , la valeur de . Indication 1. . 2. Effectuer la division euclidienne de par , puis évaluer en . Corrigé 1. On vérifie facilement que et donc que . 2. Pour , effectuons la division euclidienne de par le polynôme (qui est un polynôme annulateur de ). Alors il existe deux réels et et un polynôme tels que On détermine et en évaluant cette égalité en les racines de , c'est-à-dire en et en . On trouve les deux relations : La résolution de ce système donne et . Maintenant, du fait que , l'égalité donne . On a donc, pour tout , où les suites et ont été déterminées précédemment. $ Exercice 13 - Produit et trace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soient . 1. On suppose que . Que dire de la matrice ? 2. On suppose que, pour tout , on a . Démontrer que . Indication 1. Calculer les coefficients diagonaux de . 2. Multiplier par les matrices élémentaires . Corrigé 1. uploads/Litterature/ matrices-exercices-corriges.pdf