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Mesure et Instrumentation DOC4 Mesure et incertitudes 1/ Introduction  Quelque

Mesure et Instrumentation DOC4 Mesure et incertitudes 1/ Introduction  Quelques définitions ▪ « Le mesurande » (noté M) est la grandeur physique dont on désire déterminer la valeur EX : Quelques mesurandes : la tension U, la concentration C, la longueur L ▪ On appelle « mesurage » l’ensemble des opé- rations permettant de déterminer la valeur du mesurande. EX : Quand on mesure la valeur de la résistance R d’un conducteur ohmique : le mesurande est la résistance R de ce dipôle, le mesurage est effec- tué, par exemple, avec un ohmmètre. ▪ « La mesure » (noté m) est le résultat du me- surage, autrement dit la valeur du mesurande ▪ La méthode du mesurage est dite « directe » lorsque l’instrument de mesure fournit directe- ment la valeur m. EX : mesurage d’une longueur par une règle ▪ La méthode du mesurage est dite « indirecte » si la mesure est obtenue à partir de la valeur d’autres grandeurs EX : Mesurage de la masse volumique d’un li- quide à partir des valeurs de sa masse et de son volume ▪ Une grandeur d’influence est une grandeur qui n’est pas le mesurande mais qui a un effet sur la valeur mesurée.  Des erreurs de mesures inévitables ▪ En sciences expéri- mentales, il n’existe pas de mesures exac- tes. Les mesures sont entachées d’erreurs plus ou moins importantes en fonction de la qualité des instruments, de l’habileté du manipulateur . . . La mesure ne pouvant être absolument précise, il existe inexorablement un écart entre la valeur obtenue et la valeur exacte (appelée valeur vraie), qui restera toujours inconnue. Cet écart est appelé erreur de mesure. La va- leur vraie restant inconnue, l’erreur de mesure restera également indéterminée. ▪ Lors d’un mesurage, le scientifique cherche à réduire l’erreur, donc il doit être capable de l’identifier et de l’estimer.  Des erreurs aléatoires ▪ Si on effectue N mesures d’un même mesu- rande avec le même matériel et dans les mêmes conditions, on constate souvent que les N me- sures n’ont pas la même valeur. D’une mesure à l’autre, l’erreur n’a pas la même valeur et l’on dit que l’erreur est aléatoire.  Cette dispersion des valeurs mesurées est due : - à la qualité de la mesure réalisée par l'opéra- teur (maladresse du manipulateur, fatigue, mauvaise lecture d’une graduation, mauvais ajustement d’un ménisque...) - à la qualité de l'instrument de mesure (voir ci- dessous).  Des erreurs systématiques ▪ Quelquefois les N mesures ont la même valeur et on « ne voit pas » l’erreur aléatoire. Mais la valeur déterminée est toujours différente de la vraie valeur Dans ces conditions l’erreur prend la même va- leur lors de chaque mesure et l’on dit qu’il s’agit d’une erreur systématique  Cette dispersion des valeurs mesurées est due : - à l’appareil de mesure (appareil de mauvaise qualité, défectueux, mal étalonné ou utilisé incor- rectement) - au protocole inadapté - variabilité de la grandeur mesurée avec un facteur extérieur (le volume dépend de la tempé- rature...) Schématisation d’une erreur systématique Schématisation d’une erreur aléatoire  Qualité de l’appareil de mesure ▪ « La fidélité d’un appareil » La fidélité d’un instrument de mesure est son aptitude à donner des indications très voisines lors de l’application répétée de la même mesure dans les mêmes conditions. ▪ « La justesse d’un appareil » Étroitesse de l’accord entre la valeur MOYENNE obtenue à partir d’une large série de résultats de mesures et la valeur vraie. ▪ « L’exactitude d’un appareil » Étroitesse de l’accord entre UNE valeur mesu- rée et la valeur vraie du mesurande. Il est important de ne pas confondre les concepts d’exactitude et de justesse 2/ Présentation d’un résultat ▪ Présenter la mesure d’un mesurande consiste à indiquer la valeur de la grandeur mesurée avec son unité, mais aussi à préciser l’incertitude de la mesure pour informer sur sa précision.  Présentation du résultat d’une mesure : M = ( m ± ∆m ) unité M : Mesurande, grandeur mesurée (vitesse, température, masse . . .) m : mesure (exprimée préférentiellement avec l’écriture scientifique) ∆m : incertitude de la mesure, appelée également incertitude-élargie (arrondie à la valeur supé- rieure avec un seul chiffre significatif ou 2 au maximum) ▪ Le dernier chiffre significatif de m est incertain, il doit être situé à la même position décimale que celui de ∆m EX : V = ( 153 ± 2 ) km.h-1 ; C = ( 0,15 ± 0,05 ) mol.L-1 ; m = ( 25,1 ± 0,8 ) g  Présentation du résultat à l’aide d’un intervalle de confiance : [ m – ∆m ; m + ∆m ]  Présentation du résultat à l’aide d’un encadrement : m – ∆m m  m + ∆m ▪ En général, la largeur de l’intervalle de confiance est choisie pour avoir au moins 95% de chance de trouver la valeur vraie à l’intérieur. EX : Le mesurande est une résistance R. La valeur mesurée est 102,50 . L’incertitude de mesure est de 0,25  et le niveau de confiance est de 95 %. Le résultat de mesure est noté R95% = (102,50  0,25)  , avec un niveau de confiance de 95 %. Cela signifie qu’il y a 95 chances sur 100 pour que la valeur vraie du mesurande appartienne à l’intervalle [102,25  ; 102,75] ▪ La qualité de la mesure est d’autant meilleure que l’incertitude associée est petite. ▪ Pour évaluer la qualité d’une mesure, on peut également indiquer son incertitude relative : m m  EX : V = ( 153 ± 2 ) km.h-1 → la valeur est donnée à    153 2 V V 0,013 = 1,3 % C = ( 0,15 ± 0,05 ) mol.L-1→ la valeur est donnée à    15 , 0 05 , 0 C C 0,33 = 33 % ▪ Si on ne dispose pas d’information concernant la manière dont les mesures ont été faites, on considère que le dernier chiffre significatif est connu à ± 0,5 EX : Si on indique d = 17,3 cm sans indication supplémentaire, on suppose que 17,25 cm < d < 17,35 cm donc d = (17,30 ± 0,05) cm 3/ Evaluer l’incertitude d’une mesure  Cas d’une mesure effectuée plusieurs fois (incertitude de type A) ▪ Lorsqu’un même opérateur répète plusieurs fois le mesurage de la même grandeur, dans les mêmes conditions expérimentales, on dit que les mesures sont effectuées dans les conditions de répé- tabilité ; l’opérateur peut trouver des résultats différents. Il en est de même pour des opérateurs diffé- rents réalisant simultanément le mesurage de la même grandeur avec du matériel similaire. ▪ Dans de tels cas, on utilise des notions de statistiques pour analyser les résultats. Par exemple, la meilleure valeur à retenir pour la grandeur mesurée est la valeur moyenne des mesures effectuées.  68% des mesures se trouvent dans l’intervalle [   X ;   X ]  95% des mesures se trouvent dans l’intervalle [  2 X ;  2 X ]  99% des mesures se trouvent dans l’intervalle [  3 X ;  3 X ] ▪ L’incertitude (appelée dans ce cas « incertitude de répétabilité » ou incertitude de type A) dé- pend : - de l’écart-type de la série de mesures, - du nombre de mesures n indépendantes - du facteur d’élargissement k (qui dépend du nombre de mesures réalisées et du niveau de confiance choisi). ▪ De manière générale, la répétition des mesures améliore la précision.  Moyenne de la série de mesure : n m m    Ecart-type :   1 n m m 2       Incertitude sur la mesure : n k m     L’écart-type est une mesure de dispersion des données autour de la valeur moyenne m : la dispersion est d'autant plus grande que l'écart type est grand. Le facteur k dépend du nombre de mesures réalisées et du niveau de confiance choisi. Sa valeur est donnée par un tableau issu d'une loi statistique dite « loi de Student » (extrait ci-dessous) : n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 K95% 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 K99% 63,7 9,93 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,06 3,01 2,98 2,95  Cas d’une mesure unique (incertitude de type B) ▪ Quand on effectue une seule mesure, il faut estimer l'incertitude à partir de l’analyse des causes d'er- reurs et évaluer l’incertitude associée à chaque source d’erreur. Certaines de ces erreurs aléatoires peuvent être estimées à partir de la notice du constructeur de l'appareil de mesure. On peut par exemple prendre en compte : - la tolérance du constructeur - la résolution de l'appareil (graduation, ou digit) - la précision de l’appareil Lecture simple sur une échelle graduée uploads/Litterature/ mesures-electriques.pdf