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S31.VL OCT. 1984 METHODES MATHEMATIQUES DE LA PHYSIQUE NUCLEAIRE Collège de Fra

S31.VL OCT. 1984 METHODES MATHEMATIQUES DE LA PHYSIQUE NUCLEAIRE Collège de France - 26 au 29 Juin 1984 R. Balian A. Gervois MJ. Giannoni D. Levesque M. Maillé M. Demeur et B. Giraud, éditeurs. PREFACE II serait possible, pour cette troisième session du séminaire biennal sur les méthodes mathématiques de la physique nucléaire, de reprendre presque mot à mot la préface du livre de la première session. En effet nous nous intéressons de nouveau à la théorie du mouvement collectif, à la réduction du nombre des degrés de liberté, aux phénomènes d'ordre et de chaos. Mais bien entendu le sujet a beaucoup évolué en quatre ans. L'intérêt pour les théories de champ moyen subsiste, mais le théoricien a maintenant l'ambition de calculer fluctuations et corrélations. La meilleure compré- hension des écoulements en hydrodynamique traditionnelle, de la turbulence et de l'intermittence et de l'approche de diverses formes de chaos ouvre de nouvelles perspectives à l'étude de l'écoulement de la matière nucléaire. De nouveaux ordinateurs sont disponibles, donnant un intérêt accru à la connaissance de méthodes numériques parfois coûteuses, mais efficaces. On pourrait déjà proposer que la session de 1986 du colloque MMFN porte sur l'étude des phénomènes subnucléoniques plutôt que des phénomènes collectifs du noyau. Cette alternance entre deux niveaux de description atteste de la vitalité de notre sujet. Que soient encore une fois remercies nos conseillers scientifiques pour leurs avis et nos conférenciers pour leur important travail <ie préparation de ces exposés. M. Demeur B. Giraud TABLE DES MATIÈRES - R. Balian Variables collectives et dissipation 1 - A. Gervois Chaos et universal ité 37 - D. Levésque Méthode de Monte-Carlo en mécanique statistique classique et mécanique quantique 97 - M. Maillé Introduction à la méthode des < éléments finis 125 - M.J. Giannoni Ergodicité classique 157 Spectres de tambours et matrices aléatoires METHODES MATHEMATIQUES DE LA PHYSIQUE NUCLEAIRE 26-29 Juin 1984, Collège de France Libtz de* Pasi£i.cÂpant& P. AMIOT (Université Laval, Québec) N. ANDREUCCI (CEN, Limeil) F. ARICKX (Rijksuniversitair, Anvers) R. ARVIEU (ISN, Grenoble) R. BALIAN (Physique Théorique, CEN-Saelay) B. BENDRIEM (Biologie, SHFJ, Saolay) G. BOGAERT (CSNSM, Orsay) O. BOHIGAS (IPN3 Orsay) D. BONATSOS (U. de Pennsylvanie, Philadelphie) M. BOUGEARD (Observatoire de Paris) J. BROECKHOVE (Rijksuniversitair, Anvers) J. CARBONELL ( J S i V , Grenoble) M. CESSENAT (CEN, Limeil) • R. CHEHAB (Accélérateur Linéaire, Orsay) M. DEMEUR (ULB, Bruxelles) DO DANG GIU (LPTHE, Orsay) DO TAN SI (ULB, Bruxelles) M. DUCOMET (CEN, Bruyères le Chatel) E. ELBAZ (Université de Lyon) S. FABREGA (CEN, Cadorache) J.M. FONTAINE (DPh-N, CEN-Saelay) M. FROISSART (Collège de France) R. GAMONAL (IPJU3 Orsay) A. GERVOIS (Physique Théorique, CEN-Saelay) M. J. GIANNONI ( I Z W , Orsay) B. GIRAUD (Physique Théorique, CEN-Saelay) K. HAMDACHE (ENSTA, Palaiseau) R. KAMOUN (DPh-N, CEN-Saalay) A. KLEIN ' (U. de Pennsylvanie, Philadelphie) H. KRlVINE ( I 2 W , Orsay) G.H. LAMOT (Institut de Physique Nucléaire, Lyon) M. LASSAUT (IPN3 Orsay) D. LEGRAND (DPh-N, CEN-Saalay) A. LEPRETRE (DPh-N3 CEN-Saalay) D. LEVESQUE (LPTHE, Orsay) M. LHUILLIER (IPN3 Orsay) M. MAILLE (Institut de Programmation, U. Paris 6) C. MARTY (IPN* Orsay) Lc6-te de.* Uocte) V. MASTRANGELO J.C. PARIKH J. PORTES B. PRUM G. REIDEMEISTER J. REIGNIER J. RICHERT G. ROUVILLOIS T. SAMI C. SUNYACH J. TARENTO D. VAUTHERIN M. VENERONI J. VERBAARSCHOT (CNAM, Paris) (Université A. et M., Collège Park, Texas) (Météorologie Dynamique, Eaole Normale, Paris) (Dept. de Mathématiques, Orsay) (ULB, Bruxelles) (ULB, Bruxelles) (CEN, Strasbourg) (Mission Recherche, DGA, Paris) (CRN, Strasbroug) (Laboratoire de Probabilités, U. Paris 6) (Physique des Matériaux, CNRS Meudon) (IPN, Orsay) (IPN, Orsay) (Max-Planck Institut, Heidelberg) VARIABLES COLLECTIVES ET DISSIPATION R. BALIAN (Service de Physique Théorique) Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay 91191 Gif sur Yvette-Cedex r~ VARIABLES COLLECTIVES ET DISSIPATION Roger BALIAN Service de Physique Théorique, CEA, Saalay, 91191 Gif-suv-ïvette Cedex France Résumé Ce cours est une introduction à quelques concepts de base de mécanique statistique hors d'équilibre. L'accent est mis sur l'entropie relative à un ensemble de variables collectives, sur le sens de la méthode de projection dans l'espace de Liouville et son emploi pour établir les équations du mou- vement de ces variables, et sur l'interprétation de la dissipation dans le cadre de la théorie de l'information. Abstract This course is an introduction to some basic concepts of non-equilibrium statistical mechanics. We put stress on the relevant entropy associated to a set of collective variables, on the meaning of the projection method in Liouville space and its use to establish equations of motion for these variables, and on the interpretation of dissipation in the framework of information theory. 1. Introduction 2. Formulation liouvillienne de la mécanique quantique 3. Contractions de la description 4. Densités réduites 5. Entropies relatives 6. Projection dans l'espace de Liouville 7. Noyau de mémoire 8. Equations de transport 9. Approximations de champ moyen 10. Approximations de mémoire courte 11. Conclusion -2- 1. INTRODUCTION Une part importante des cours de cette école est consacrée à l'étude de comportements chaotiques dans la dynamique de systèmes plus ou moins complexes. Lorsque les degrés de liberté sont en petit nombre, de tels comportements ne peuvent apparaître que si les équations du mouvement sont non linéaires. En effet, les solutions d'équations linéaires, qui s'écrivent comme superpositions d'oscillations sinusoïdales, présentent une certaine régularité, sauf si le nombre de périodes indépendantes devient très grand. L'équation de Schrodinger, qui régit la dynamique des noyaux, est linéaire. La question se pose donc de comprendre dans quelle mesure cette dynamique peut faire intervenir des comportements chaotiques. La réponse est liée à la grande taille des noyaux. L'ensemble des degrés de liberté obéit à un système d'équations linéaires ; mais nous verrons comment des approximations peuvent conduire, lorsqu'on isole certains degrés de liberté correspondant à des variables collectives, à des équations du mouvement approchées non linéaires. Les équations ainsi obtenues portent sur des grandeurs de nature statistique, parce que les noyaux sont des objets quantiques. Cependant, la structure de ces équations est asez semblable à celle des équations de la dynamique classique. C'est pourquoi l'étude du chaos dans les systèmes classiques, tout en n'étant pas directement transposable à la dynamique nucléaire, peut être utile à la compréhension de certains comportements collectifs. En mécanique classique, la présence de dissipation dans les équations du mouvement interfère avec l'apparition du chaos. Par exemple, la non linéarité des équations de Navier-Stokes p ( - | r - + u. V)u = f - div P + div T O-C ( f est la force extérieure par unité de volume, P la pression, T le ten- seur des tensions de viscosité) par rapport aux vitesses locales u permet l'apparition de turbulences ; mais le mouvement a d'autant moins tendance à être turbulent que la viscosité est plus élevée, pour une géométrie donnée (comparer la vidange de l'huile d'un moteur d'auto à celle de l'eau du radiateur). Cependant, le phénomène de dissipation n'existe pas à -3- I1échelle microscopique dans l'équation de Schrodinger. L'un de nos buts sera de comprendre comment la dissipation s'introduit lorsqu'on essaie de décrire le système par des variables collectives. L'évaluation du taux de dissipation peut se faire de divers manières. En physique nucléaire, on met souvent l'accent sur des considé- rations énergétiques, et on définit la dissipation par un flux d'énergie depuis une énergie "mécanique", associée à des degrés de liberté collec- tifs, vers une énergie "thermique" représentant le reste. Du point de vue de la mécanique statistique, l'entropie est une grandeur plus fondamentale que l'énergie : calle-ci n'est que l'une des variables conservées du système. C'est 1'entropie relative, concept introduit au §5, qui nous permettra de comprendre et de mesurer la dissipation. Plusieurs techniques de la mécanique statistique n <rs d'équi- libre nous seront utiles. Nous introduirons (§2) le formalisme liouvil- lien, représentation de la mécanique quantique plus générale que la repré- sentation dans un espace de Hilbert, adaptée à l'écriture d'équations du mouvement de structure classique, et à la réduction du nombre de degrés de liberté étudiés ( § 3 - 4 ) . Nous donnerons les bases de la méthode de projection ( § 6 - 7 ) , qui permet de construire la dynamique de ces degrés de liberté en se débarrassant des autres. Ceci nous fournira des équations exactes, ayant une forme d'équations de transport ou d'équations de bilan selon les circonstances ( § 8 ) . L'approximation de champ moyen (§9) nous permettra d'identifier dans ces équations les termes responsables de la dissipation. Nous donnerons enfin (§10) une idée des diverses méthodes d'approximations permettant d'évaluer la dissipation et les coefficients de transport. La matière de ce cours, introduction à quelques notions de base importantes de la mécanique statistique quantique hors d'équilibre, est exposée en détail dans un article en préparation, auquel le lecteur intéressé pourra se reporter [1] . Nombre d'articles et de livres [ 2 ] traitent de la méthode de projection et de ses multiples applications. Nous nous bornons ici à commenter les idées les plus essentielles, et à esquisser la manière dont elles sont mises en oeuvre dans la pratique. -4- 2. FORMULATION LIOUVILLIENNE DE uploads/Litterature/ methodes-mathematiques-de-la-physique-1984.pdf