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Paradoxes probabilistes: D'un univers à l'autre. Imaginez Marcelo Mastroianni a

Paradoxes probabilistes: D'un univers à l'autre. Imaginez Marcelo Mastroianni avec son savoureux accent italien, dans "Une journée particulière" : "Ma non, monsieur, ce n'est pas le locataire du sixième qui est antifasciste. Ce sont les fascistes qui sont anti- locataire du sixième." La chasse aux paradoxes probabilistes est ouverte. Commençons par le paradoxe de Bertrand. Soit un cercle de centre O et de rayon r. Les côtés du triangle équilatéral inscrit dans ce cercle ont pour longueur a = r√3. En 1889 Joseph Bertrand s'étonnait de ce que le calcul de la probabilité de tirer au hasard, dans ce cercle, une corde de mesure plus grande que a puisse donner 3 résultats différents, tous paraissant mathématiquement corrects. 1) On prend un point R n'importe où sur le cercle. À partir de R, divisons le cercle en 3 arcs égaux RA ̂ , RB ̂ , AB ̂ , de mesure 2πr 3 . RA et RB sont les côtés d'un triangle équilatéral inscrit. Tirons maintenant un point P au hasard sur le cercle. Pour que la corde RP soit plus grande que a il faut que P appartienne à l'arc AB ̂ . Donc dans ce cas la probabilité cherchée est mesure de l′arc AB ̂ 2πr = 1 3 . 2) Si on prend un point P (différent de O) n'importe où à l'intérieur du disque, il existe une corde et une seule telle que P soit son milieu. Donc tirer un point P à l'intérieur du disque revient à tirer une corde au hasard. Soit le disque de centre O et de rayon r 2 . Si on tire le point P au hasard à l'intérieur de ce disque, la corde associée sera plus longue que a. Sinon elle sera plus petite. Donc la probabilité cherchée est aire du disque (O, r 2) aire du disque (O, r) = 1 4 . 3) Si on prend un point P (différent de O) au hasard sur un rayon donné du cercle il existe une corde et une seule telle que P soit son milieu. Donc tirer un point P sur ce rayon revient à tirer une corde au hasard. Soit M le milieu de ce rayon. OM = r 2 . Si P est sur OM, la corde sera plus longue que a . Si P est extérieur à OM la corde sera plus petite que a. Donc la probabilité cherchée est r 2 r = 1 2. Alors, quelle est la probabilité de tirer une corde plus grande que le côté du triangle équilatéral inscrit ? 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? Avant de régler son sort à ce paradoxe, faisons une petite incursion dans l'axiomatique des probabilités dont Kolmogorov a édicté les règles en 1933. L'axiomatique. Que Kolmogorov ait estimé nécessaire de mettre de l'ordre et de définir ce qu'on pouvait appeler "probabilité" au sens mathématique par opposition au sens intuitif que nous avons de ce concept n'était pas inutile si on en juge par les abus et sacrilèges de toutes sortes qu'on commet encore aujourd'hui au nom de cette science. Kolmogorov nous explique qu'au sens mathématique, toute expérience aléatoire a pour cadre un ensemble qu'on appelle "Univers" et qu'on note Ω. Cet ensemble est formé de toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire. L'univers peut être découpé en sous ensembles d'une ou plusieurs issues. Une famille des ces sous - ensembles constitue une tribu sur l'univers si elle possède les propriétés suivantes: 1) l'Univers Ω et l'ensemble vide ∅ font partie de cette famille. 2) le complémentaire de tout sous – ensemble de cette famille appartient à la famille. 3) toute réunion d'un nombre fini de sous ensemble de cette famille appartient à cette famille. Si l'on sait mesurer (au sens mathématique) tous ces sous ensembles, on peut définir une probabilité sur la tribu. La probabilité d'un sous ensemble A que l'on note P(A) est égale au rapport mesure de A mesure de Ω . Cette définition donne à la probabilité le statut d'une mesure comprise entre 0 et 1. Notons que l'on parle de la "probabilité d'un ensemble" et que cet ensemble porte le nom d'"évènement". Un évènement est donc un ensemble d'issues. De la définition de la probabilité en tant que mesure on tire plusieurs propriétés dont les plus triviales sont : Si A est un évènement on a P(A) ∈ [0 ; 1 ], P(∅) = 0 ; P(Ω) = 1, Si A ̅ est le complémentaire de A dans on a P(A ̅) = 1 – P(A). Si A et B sont 2 sous – ensembles disjoints de la tribu on a P(A U B) = P(A) + P(B). Si A et B (2 sous – ensembles de la tribu) ont une intersection on a P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B). En règle générale, les issues sont dotées de caractères qualitatifs ou quantitatifs déclinés en plusieurs modalités. Par exemple le caractère couleur est décliné en "bleu", "blanc", "rouge", le caractère forme est décliné en "rond", "carré", triangle", le caractère nombre inscrit sur un dé est décliné en 6 modalités {1;2;3;4;5;6}. Etc … Il est fréquent qu'à chaque modalité corresponde un sous ensemble de la tribu (un évènement) et on peut définir des modalités composites telles que "triangle ET bleu", "multiple de 3 OU pair", "NON carré" en les associant avec des locutions logiques. À chaque locution logique correspond une opération sur les évènements correspondants. Au ET correspond l'intersection, au OU correspond la réunion, au NON correspond le complémentaire dans Ω. Quand l'univers Ω est fini, dénombrable et formé d'éléments équiprobables devant l'expérience aléatoire, l'ensemble des parties de Ω (Ω et ensemble vide inclus) constitue une tribu sur Ω. Et le nombre d'éléments de chaque partie en constitue une mesure au sens mathématique. C'est un cas qu'on rencontre fréquemment et dans ce cas, la probabilité de l'évènement A est P(A) = nombre d′éléments de A nombre d′éléments de Ω . Quand l'univers est infini mais borné et mesurable comme un cercle, un disque, un segment de droite, la probabilité de l'un de ses points est nulle mais il suffit de définir une tribu à partir de sous ensembles mesurables pour qu'on puisse évaluer leur probabilité par comparaison de leur mesure avec celle de l'univers. Par exemple si Ω est un segment de droite, les segments de droite et réunions de segments de droite inclus dans Ω sont mesurables et constituent une tribu. Sur un cercle univers on prendra les arcs de cercles et réunions d'arcs de cercles dont on sait évaluer la longueur. Ou bien la tribu des disques et couronnes circulaires (dont on sait évaluer la surface) inclus dans un disque univers. Dans tous ces cas P(A) = mesure de A mesure de Ω. (mesure au sens physique ou mathématique). L'expérience aléatoire prend souvent le nom de tirage. Il y a les tirages simples et les tirages multiples. Les tirages multiples simultanés et les tirages multiples successifs, les tirages avec remise et les tirages sans remise… Dans le cas d'une épreuve formée de tirages multiples, l'issue d'une épreuve est constituée des résultats des tirages qui la constituent et ceux-ci peuvent être regroupés sous la forme d'une combinaison, d'un arrangement ou d'un n-uplet selon que les tirages ont lieu dans un même ensemble ou dans plusieurs ensembles (différents ou non), selon que les permutations de plusieurs tirages constituent une même issue ou non. En principe, le protocole de tirage et la description des évènements dont on veut calculer la probabilité suffisent à définir ce que l'on appelle "issue d'une épreuve" et la façon dont ces issues doivent être regroupées pour former les évènements. Ensuite le calcul de probabilité se résout souvent à un problème de dénombrement ou de mesure. Pour pouvoir calculer une probabilité au sens mathématique, il faut théoriquement réunir tous ces éléments, définir l'expérience aléatoire, l'univers des possibles, le procédé de mesure, sans quoi le terme de probabilité n'a pas grand sens. Souvent les paradoxes tirent leur substance d'un manque de rigueur au niveau de la définition des pré – requis imposés par l'axiomatique. L'univers, notamment doit être formé de toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire et seulement de celles – ci. Notons d'ores et déjà que la notion d'instant et le concept de possible sont liés. On peut définir l'instant comme un état exhaustif de l'univers au temps T. Si un évènement E constitutif de l'univers est possible à l'instant t1 et avéré à l'instant t2, on ne peut plus, à l'instant t2 prétendre calculer une probabilité à partir d'un univers où E serait encore possible. Le paradoxe c’est Bertrand. Le problème de Bertrand ne va pas résister longtemps à l'approche axiomatique. Dans ce problème on ne tire pas des cordes au hasard mais des points. L'univers est, toujours un univers de points. Selon le cas,.. ● un cercle de rayon r , et on mesure la probabilité d'un de ses arcs de longueur 2πr/ 3 ● un disque de centre O et uploads/Litterature/ paradoxes.pdf