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Ecole Supérieure en Sciences et Année Universitaire 2021/2022 Technologies de l

Ecole Supérieure en Sciences et Année Universitaire 2021/2022 Technologies de l’Informatique et du Numérique. 2eme Année Classe Préparatoire. Série de TD no 2 du module probabilité et statistique 2 Exercice no 1 : En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que pour tout x > 0, Z x −∞ e−t2/2dt ≥ √ 2π(1 − 1 2x2 ) Exercice no 2 : On lance n fois un dé à 6 faces. Comment choisir n pour que la probabilité d’obtenir un nombre de 6 compris entre 0 et n 3 soit supérieure à 1 2. Exercice no 3 : Soit (Xn)n>1 une suite de variable aléatoire définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, suivant toute une loi uniforme sur [0, 1]. On note pour tout n > 1, Mn = max(X1, ..., Xn) et Yn = n(1 −Mn). 1. Déterminer la fonction de répartition de Mn, puis celle de Yn. 2. Montrer que la suite (Yn) converge en loi vers une variable remarquable. Exercice no 4 : On considère une suite (Xn)n>1 de variables de Poisson indépendantes de paramètre 1. On pose Sn = X1 + ... + Xn. 1. Déterminer la loi de Sn ? Calculer P(Sn ≤n) en fonction de n. 2. En utilisant le Théorème Cental Limite, montrer que lim n→∞e−n n X k=0 nk k! = 1 2 Exercice no 5 : Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de bernoulli de para- mètre p. Pour n ∈N, on considère la variable aléatoire Yn = Xn + Xn+1 1. Caractériser la variable aléatoire Yn et calculer son espérance mathématique et sa variance. 2. Soit Tn = 1 n Pn 1 Yi. Calculer l’espérance mathématique et la variance de Tn 3. Montrer que la suite de variables aléatoires Tn converge en probabilité. Exercice no 6 : Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes dont sa densité de probabilité est donnée par fn(x) = ( n2xe−n2x2 2 , x > 0; 0, sinon. 1. Vérifier bien que fn(x) est une densité de probabilité. 1 2. Montrer que la suite (Xn) converge en probabilté vers 0. Exercice no 7 : un fournisseur d’accès à Internet met en place un point local d’accès, qui dessert 5000 abonnés. A instant donné, chaque abonné a une probabilité égale à 20% d’être connecté. Les comportements des abonnés sont supposés indépendants les uns des autres. 1. On note X la variable aléatoire égale au nombre d’abonnés connectés à un instant t. Quelle est la loi de X ? Quelle est son espérance, son écart-type? 2. On pose Y = X−1000 √ 800 . Justifier précisément qu’on peut approcher la loi de Y par la loi normale N(0, 1). 3. Le fournisseur d’accès souhaite savoir combien de connexions simultanées le point d’accès doit pouvoir gérer pour que sa probabilité d’être saturé à un instant donné soit inférieure à 2, 5%. En utilisant l’approximation précédente, proposer une valeur approchée de ce nombre de connexions. 2 uploads/Litterature/ serie-de-td-n02.pdf