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Université de Montréal Méthodes de volumes finis pour les systèmes d’équations

Université de Montréal Méthodes de volumes finis pour les systèmes d’équations hyperboliques applications en aérodynamique et en magnétohydrodynamique par Rony Tourna Dépaiternent de mathématiques et de statistique faculté des arts et des sciences Thèse présentée à la Faculté des études supérieures en vue de l’obtention du grade de Philosophiœ Doctor (Ph.D.) en Mathérnatictues Appliquées septembre 2005 © Rony Tourna, 2005 Ô o C tc Universilé tll’h de Montréal Direction des bibliothèques AVIS L’auteur a autorisé l’Université de Montréal à reproduire et diffuser, en totalité ou en partie, par quelque moyen que ce soit et sur quelque support que ce soit, et exclusivement à des fins non lucratives d’enseignement et de recherche, des copies de ce mémoire ou de cette thèse. L’auteur et les coauteurs le cas échéant conservent la propriété du droit d’auteur et des droits moraux qui protègent ce document. Ni la thèse ou le mémoire, ni des extraits substantiels de ce document, ne doivent être imprimés ou autrement reproduits sans l’autorisation de l’auteur. Afin de se conformer à la Loi canadienne sur la protection des renseignements personnels, quelques formulaires secondaires, coordonnées ou signatures intégrées au texte ont pu être enlevés de ce document. Bien que cela ait pu affecter la pagination, il n’y a aucun contenu manquant. NOTICE The author of this thesis or dissertation has granted a nonexclusive license allowing Université de Montréal to reproduce and publish the document, in part or in whole, and in any format, solely for noncommercial educational and research purposes. The author and co-authors if applicable retain copyright ownership and moral rights in this document. Neither the whole thesis or dissertation, nor substantial extracts from it, may be printed or otherwise reproduced without the author’s permission. In compliance with the Canadian Privacy Act some supporting forms, contact information or signatures may have been removed from the document. While this may affect the document page count, it does flot represent any loss of content from the document Université de Montréal Faculté des études supérieures Cette thèse intitulée Méthodes de volumes finis pour les systèmes d’équations hyperboliques : applications en aérodynamique et en magnétohydrodynamique présentée par Rony Tourna a été évaluée par un jury composé des personnes suivantes Michel Delfour (président-rapporteur) PauÏ Arminjon (directeur de recherche) Serge Dub LIC (co-directeur) Robert Owens (membre du jury) Alain Dervieux (examinateur externe) Dominique Pelletier (représentant du doyen de la FES) Thèse acceptée le: 16 septembre 2005 111 $OMMAIRE Dans cette thèse, nous proposons des méthodes de volumes finis centrées mul tidimensionnelles pour résoudre des systèmes de lois de conservation hyperbo liques. Les systèmes hyperboliques jouent un rôle important clans la modélisation de plusieurs phénomènes physiques surtout en aérodynamique et en magnétohy ciroclynarnique. De façon particulière nous nous intéressons aux équations de la magnétohydrodynamique idéale (IVIHD) ces équations décrivent plusieurs phé nomènes en physique et en astrophysique comme la physique solaire, l’évolution du plasma clans un milieu magnétique, les jets astrophysiques, etc. ; le champ magnétique clans la solution analytique des équations de la i\/IHD est solénoïdal, et donc satisfait l’équation de iVlaxwell V B = O. L’accumulation des erreurs numériques telles que les erreurs de troncature et d’arroncli conduit souvent à des solutions numériques qui ne satisfont pas la propriété physique du champ magnétique et peuvent entraîner des instabilités numériques, ou des ondes non physiques. Pour remédier à cette situation, nous proposons une méthode de trai tement de la divergence qui sera jumelée à nos schémas centrés de base en deux et trois dimensions spatiales (avec des cellules duales soit cartésiennes soit en diamants), pour garantir une solution numérique physiquement adlrnissible. Nous validons nOs méthodes numériques en considérant plusieurs problèmes classiques et en comparant nos résultats numériques avec certains résultats récents de la littérature. Mots clés Méthodes de volumes finis centrées. magnétohydrodynamique idéale, aérodynamique, méthode de tr9nsport sous contrainte. iv SUMMARY In this thesis we consider central finite volume schemes for solving multicli mensional systems of hyperbolic equations. Several physical phenomena are des cribed using hyperbolic equations, especially in aerodynamics ancl magnetohy clroclynamics. In particular, we will be interested in icleal magnetohyclroclynamics (‘IVIHD I?) problems. The MHD equations describe several phenomena in Physics and Astrophysics sucli a.s the solar physics, the flow of the plasma (ionizeci ftuid) in a magnetic domain, etc. The magnetic field in the analytic solution of the MHD equations is solenoidal anci thus satisfies Maxwell’s equation V B = O; due to the accumulation of numerical errors such as the rotmcl-off errors anci the truncation errors, the numerical solution usually fails to satisfy the solenoiclal property of the magnetic fielci, anci thus instahilities or non-physical waves may arise. To enforce the clivergence-free physical requirernent on the magnetic fielci in the numerical solution, we construct new constraineci-transport-type methocis that apply to both two ancÏ three-cÏimensional central schemes, involving Carte sian or cliamoncl-shapecÏ dual cells, anci treat the magnetic fielci components of the numerical solution. We valiclate our numerical methocls by solving several classical icleal MHD problems ancl comparing our numerical resuÏts with the cor responcling ones appearing in the recent literature. Keyworcls Central fuite volume methocis, icleal magnetohycÏroclynamics, ae rocÏynamics, coustraineci transport. ru thocl. V REMERCIEMENTS Je tiens à remercier en premier lieu mon directeur de thèse, le professeur Paul Arminjou, pour son encadrement scientifique. son encouragement et son soutien tout le long de mon travail. Soi; expertise clans le domaine de l’analyse numérique et des méthodes numériques en aérodynamique ainsi que son intérêt pour la re cherche scientifique ont été fondamentaux pour le développement de ce travail. Je tiens aussi à remercier très chaleureusement mon co-clirecteur, le professeur Serge Dubuc, pour son soutien et son aide tout au long de mon travail. Je remercie également les professeurs IViichel Delfour et Robert Owens pour avoir accepté d’être membres du jury. Je suis très honoré que le professeur Alain Der vieux ait accepté d’être examinateur externe de cette thèse Je remercie aussi tout particulièrement le professeur Andrew Granville pour nous avoir donné accès aux outils de calcul de son laboratoire, nous permettant cl’exé duter les expériences et les programmes numériques en parallèle. Également, je remercie le personnel informatique des laboratoires du Département de mathé matiques et de statistiques pour letir soutien technique. Je remercie les professeurs ainsi que le personnel du Département de mathéma tiques et de statistiques de l’Université de iViontréal. Je remercie égalenient tous les collègues du Département de mathématiques et de statistique de l’Université de Montréal, en particulier je tiens à remercier Oleg Vol kov, Marie-Odette St-Hilaire, Jean-François Renauci et Étienne Bourgeois pour toutes leurs qualités, leur amitié, et leur humour. Je tiens aussi à remercier mes parents pour leur soutien et leur patience tout le long de ce travail. Finalement, j’exprime ma reconnaissance et ma gratitude envers le Gouverne ment du Canada, le Gouvernement du Québec ainsi que la Faculté des études vi supérieures de l’Université de Montréal pour le soutien financier qu’ils m’ont ac cordé pendant toute la durée de mes études universitaires. vii TABLE DES MATIÈRES Sommaire iii Summary iv Remerciements y Liste des figures xii Liste des tableaux xix Introduction 1 I\Iotivation 1 Défis numériclues 3 Contenu de la thèse 4 Chapitre 1. Schémas numériques centrés multidimensionnels.... 7 1.1. Méthodes numériques 7 1.1.1. Rappel du schéma de Nessyahu-TacÏmor 8 1.1.2. Extellsioll du schéma “NT” en 2D avec des cellules duales en diamants 12 1.1.3. Extension du schéma ‘NT” en 2D avec des cellules duales cartésiennes 17 1.2. Schémas numériques centrés en trois dimensions spatiales 18 1.2.1. Schéma numérique ceiltral en trois dimensions spatiales avec cellules duales en diamants 19 1.2.1.1. Premier pas de temps suivant l’axe des a 20 viii Premier pas de temps suivant l’axe des y et des z 25 1.2.1.2. Second pas temporel 26 Le long de l’axe des x 26 Le long de l’axe des y 27 Le long de l’axe des z 28 1.2.2. Schéma numérique central en trois dimensions spatiales avec cellules duales cartésiennes 32 Chapitre 2. Magnétohydrodynamique idéale, contrainte physique et traitement numérique 37 2.1. Éciuations de la 1VIHD idéale 38 2.1.1. Formulation des équations de la MHD idéale 39 2.2. La contrainte V B = O 43 2.2.1. Formulation à 8 oncles 44 2.2.2. Méthode de projection 45 2.2.3. IViéthode du transport sous contrainte 45 2.2.3.1. Approche par différences finies 46 2.2.3.2. Méthode du transport avec interpolation pour les schémas de type volumes finis 47 2.2.3.3. Méthodes CT sans champ magnétique décalé 48 2.2.4. iVléthode du transport sous contrainte pour des schémas centrés du type Nessyahu et Tadmor 50 2.2.4.1. Approche CTCS pour les schémas centrés 2D avec cellules duales en diamants [12] 51 2.2.4.2. Approche CTC$ pour schémas centrés 2D avec cellules duales cartésiennes 56 2.2.4.3. Approche CTCS pour des schémas centrés 3D avec cellules duales cartésiennes 59 2.2.4.4. Approche CTCS pour des schémas centrés 3D avec cellules duales en diamants 65 ix Chapitre 3. Central Finite Volume IVlethods with Constrained Transport Divergence Treatment for Ideal MHD.... 73 3.1. Introduction 75 3.1.1. Some previous work on muitidimensional central schemes 75 3.1.2. Previous work on mimerical MHD 76 3.1.3. Contents uploads/Litterature/ touma-rony-2005-these.pdf