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Corrige algebre IUT C de Roubaix DUT STID re Année - Corrigé interrogation d ? algèbre semestre Exercice a Trois vecteurs dans R sont linéairement indépendants si et seulement si le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs est non nul On calcule

IUT C de Roubaix DUT STID re Année - Corrigé interrogation d ? algèbre semestre Exercice a Trois vecteurs dans R sont linéairement indépendants si et seulement si le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs est non nul On calcule u v w L L ?? L ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? Donc u v w sont linéairement indépendants On aurait aussi pu répondre à cette question en repartant de la dé ?nition de l ? indépendance linéaire comme ce qui est fait dans la question suivante b u v w linéairement indépendants si et seulement si ? u ? v ? w ?? ? ? ? On résout donc ? u ? v ? w ce qui est équivalent à F F F F ? ? F F F F ? ? F F ? ? F F F F ? ? ? Ce qui après réduction sous forme échelonnée donne le système suivant ? ? ? ? Le système a été mis sous formé échelonnée il comporte inconnues et équations il admet donc une in ?nité de solutions on en déduit alors que ? u ? v ? w ? ? ? les vecteurs u v w ne sont donc pas linéairement indépendants Pour écrire l ? un d ? entre eux comme combinaison linéaire des autres on cherche une solution particulière du système précédent on pose ? on en déduit ? ?? et ? ?? On a donc ??u ?? v w ?? w u v Exercice x y z ?? x ?? y y ?? z A est donc l ? ensemble des solutions d ? un système linéaire homogène donc A est un sous espace vectoriel de R Remarque on peut aussi faire la démonstration en repartant de la dé ?nition d ? un sous-espace vectoriel ?? A ? R ?? ?? A car ? ? ?? Stabilité pour l ? addition ??u v ?? A u u u u avec u u u v v v v avec v v v alors u v u v u v u v avec u v u v u v donc u v ?? A ?? Stabilité pour la multiplication par un scalaire ?? ? ?? R ??u ?? A u u u u avec u u u alors ?u ?u ?u ?u avec ?u ?u ?u donc ?u ?? A Donc A est un sous espace vectoriel de R B ? R ?? B car donc B n ? est pas un sous espace vectoriel Exercice C n ? est pas une base car il y a moins de vecteurs que la dimension de l ? espace Remarque on pourrait aussi repartir de la dé ?nition d ? une base pour démontrer que C n ? en est pas une Pour cela il faudrait montrer qu ? il n ? est pas possible d ? écrire tout vecteur de R de manière unique sous forme de combinaison linéaire des vecteurs de