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Université du Littoral – Côte d’Opale Licence des sciences, Calais Vibrations e

Université du Littoral – Côte d’Opale Licence des sciences, Calais Vibrations et ondes Dmitrií Sadovskií Département de physique, Université du Littoral, LPCA e-mail: sadovski@univ-littoral.fr, web: http://pca3.univ-littoral.fr/~sadovski Calais, automne 2019 Horaires cours-TD en 12–14 séances de 3h. habituellement 1330–1645 lundi, salle C104 à partir de 23/9 et jusqu’à . . . les TP sont suivis par un autre enseignant (Christophe Przygodsky) Contenu du cours Ce cours traditionnel est destiné aux étudiants de la troisième année en licence sciences du tronc commun physique– chimie à Calais. Il a été enseigné auparavant par les Professeurs Hadj Abdelhak (2006–2007) et Robin Bocquet (2008). Le cours aura les thèmes principales suivantes. Oscillateur harmonique libre (2 séances) – Differents exemples (mécanique, électricité). – Rappels sur la méchanique Newtonienne. Forces. – Linéarité et non-linéarité. – Notions de la méchanique Lagrangienne et Hamiltonienne. – Diagramme de phases, l’espace des phases. Oscillateur harmonique libre amorti (1 séance) Oscillations forcées par une force harmonique (1–2 séances) Oscillateur anharmonique (1 séance) Notions de la théorie des perturbations. NB : ce thème est facultatif, il est addressé principalement aux étudiants qu’ont choisi l’option Physique et qui font le projet numérique dans le cadre du cours «Physique numérique» (D. Sadovskií, Ch. Przygodsky) Partiel sur les oscillations (2h). TD correction immediate (1–2h). Systèmes linéaires à plusieurs degrés de liberté (2 séances) Solution générale par les utils matriciels. Modes propres. Cas non-linéaire : l’idée du couplage, résonances. Ce thème sert comme une transitions aux ondes (systèmes au nombre inﬁnie des degrés de liberté). Ondes nondispersives (2 séances) – La corde. Ondes transversales et longitudinales, planes, cylindriques, sphériques. – Propagation. Interférence et diffraction. – Ondes sinusoïdales progressives et stationnaires. Noeuds, conditions limite. Résonateurs. Son. – Equation d’onde (d’Alembert). Equation de corde. – Terminaison. Réﬂexion. Ondes dispersives (1 séance) 1 2 5 décembre 2019 Introduction D. Sadovskií Modalités de contrôles des connaissances Contrôle continu Pour pouvoir mieux interagir et démontrer leur niveaux de compréhension (ou incompréhension.. . ), les étudiants passent rapidement au tableau en TD. En cours les étudiants seront parfois demandés de répondre par écrit aux 2–3 questions rapides. Il n’y aura pas des notes (sauf si l’on demande exprès), et il ne faut pas avoir peur. C’est la participation qui compte. Partiel Il y a un partiel (DS) écrit au mi-cours. Ce partiel couvre le thème «Vibrations». Il est noté sur 20. L’examen ﬁnal porte sur tout le cours et est noté sur 20, la note ﬁnale est déﬁnie avec le règle du sup contre la moyenne examen+DS. Livres – «Oscillations» de Ph. Chen & R. Guillemard, rappels des cours et exercises (existe dans la BU). Voir Chap. 1 et 2. – «Mécanique» (physique théorique Tome 1) de L.D. Landau & E.Lifchitz, Mir 1988. Pour la partie vibrations : le plus compacte cours de méca classique. – «Classical Mechanics» par David Morin (Cambridge University Press, 2008) – «Ondes mécaniques et sonores» de H. LUmbroso, 2me année , Dunod, Paris, 1999. Voir Chap. 1 et 2 pour la partie ondes, un peu trop avancé. Rappels sur le cours «Vibration et ondes» License 3me année. Calais Version vibondes 2019-12-05 13:09 c ⃝2019 Dmitrií A. Sadovskií. Toute dissémination et reproduction autres que dans le cadre de l’enseignement à l’Université du littoral sont interdites. La version la plus recente de ce manuel est disponible en format éléctronique (pdf) sur http://purple.univ-littoral.fr/etudes/vibondes.pdf Vos suggestions, améliorations et corrections sont bienvenues. Merci de les envoyer par mél à sadovski@univ-littoral.fr D. Sadovskií Mécanique 5 décembre 2019 3 Rappels sur la mécanique La méchanique est historiquement la première théorie dynamique. Dans une telle théorie, on peut trouver l’état du système à n’importe quel moment du temps (ou plus généralement, pour n’importe quelle valeur de la variable indépendante) si on connaît son état à un moment du temps donné. L’évolution du système en temps est décrit par une équation différentielle ordinaire (é.d.o.) ou un système de tels équations. Soit K le nombre de degrés de libertè, t temps, qk les coordonnées, ˙ qk = dqk/dt les vitesses, où k = 1, . . . , K. Joseph Louis Lagrange L’hypothèse centrale de la mécanique : pour caractériser l’état du système à tout mo- ment du temps donné il sufﬁt de donner sa position q et sa vitesse (drivée première) ˙ q. Ainsi l’evolution d’un système mécanique est décrit par des é.d.o.’s d’ordre ≤2, c’est à dire les équations qui contiennent les positions q = (q1, . . . , qK) et ses drivées premières ˙ q et se- condes ¨ q. On appelle éspace des conﬁgurations l’espace de dimension K avec coordonnées qk, et on considère la trajectoire t 7→(q(t), ˙ q(t)) du système dans l’espace des phases de dimension 2K. Lagrange On écrit les équations de Lagrange pour la fonction de Lagrange (ou Lagran- gien) L, d dt ∂L ∂˙ qk −∂L ∂qk = 0, k = 1, . . . , K. NB : on appelle q est ˙ q coordonnées et vitesses généralisées. Pour des systèmes simples avec des masses ponctuelles sans constraints, on distingue énergie cinétique T(q, ˙ q) et énergie potentielle V (q), telles que L = T −V Isaak Newton Newton Pour des masses ponctuelles on écrit leurs énergie cinétique T = 1 2 X k mk ˙ q2 k = 1 2 X k mk v2 k On assume aussi que V est une fonction réelle de q(t) seulement. On compute l’accélération d dt ∂L ∂˙ qk = mk¨ qk = mk ˙ vk = mkak et la force Fk = −∂L ∂qk = −∂V (q) ∂qk , k = 1, . . . , N soit ⃗ F = −∇qV (q) NB : Newton (1643–1727) formulait sa théorie mécanique bien avant Lagrange (1736–1813) mais l’approche de ce dernier est la plus générale. La mécanique de Newton (et Kepler) et un cas particulier de la mécanique Lagrangienne. William Rowan Hamilton Hamilton On déﬁnit la quantité du movement pk := ∂L ∂qk et la fonction d’Hamilton (ou Hamiltonien) H(q, p, t) := K X k=1 ˙ qkpk −L(q, ˙ q, t). L’évolution du système est donnée par sa trajectoire (q(t), p(t)) qui satisfait K é.d.o’s d’ordre 1 ˙ qk = ∂H ∂pk , ˙ pk = −∂H ∂qk , k = 1, . . . , K. Notons que dans le cas simple (N particules ponctuelles, K = 3N) ⃗ pn := mn ˙ ⃗ rn := mn⃗ vn et H = T + V. NB : Cette approche est la plus utile dans le cas sans dissipation où l’énergie est conservée. On connait aussi des applica- tions en mécanique quantique, où l’énergie est conservée (et quantiﬁée) et où H devient l’opérateur différentiel ˆ H. 4 5 décembre 2019 Oscillateur harmonique libre, et libre amorti D. Sadovskií 1 Oscillateur harmonique libre 1.1 Cours – Introduction, présentation et plan du cours – Rappels sur la méchanique Newtonienne. Forces. – Pendule mathématique – Linéarité et non-linéarité. – Diagramme de phases, l’espace des phases. – Diagramme de phases complète du pendule Ressort vertical 1.2 TD – Questionnaire éclair de la rentrée (20 min), correction – oscillateur à ressort posé verticalement 2 Oscillateur harmonique libre, et libre amorti 2.1 Cours – Questionnaire éclair : oscillations libres (15 min) – Récapitulatif sur séance 1 : équations et leur solutions – Solution générale matricielle des équations différentielles ordinaires linéaires sur l’exemple simple d’un oscillateur libre (a) hyperbolique (b) elliptique (c) focale FIG. 1 – Portraits locaux dans un espace des phases R2 avec les coordonnées (x, ˙ x) 2.2 TD oscillations libres Exercice 2.1. Lequel des systèmes dont le portrait de phases est presenté sur la ﬁgure 1 est stable ? unstable ? L C C R Exemple en circuits électrique LC, RC, RLC Rappels : Les paramètres du système sont inductivité L résistance ohmique R, et capacité C ; l’état du système est décrit en utilisant les charges q(t) et les courants j(t) = dq dt la variable indépendante est le temps t. L’énergie potentielle corresponde à la tension u. Nous avons uL = −Ldj dt , uC = q C et donc duC dt = 1 C dq dt , Question : Comparez ce(s) circuit(s) à un système mécanique (ressort, pendule, . . . ). Quels sont les équivalents mécaniques de R, L, et C ? Exercice 2.2. Oscillation électrique libre non-amortie (circuit LC). Charge et décharge d’un condensateur. Considérez le condensateur C branché sur la résistance R comme montré sur la ﬁgure ci-à-gauche. Dérivez l’équation différentielle pour la tension u(t) aux bornes de C. Soit u(0) > 0 au moment t = 0. Trouvez u(t) pour t > 0. Exercice 2.3. Amortissement (circuit RC). Charge et décharge d’un condensateur. Considérez le condensateur C branché sur la résistance R comme montré sur la ﬁgure ci-à-gauche. Dérivez l’équation différentielle pour la tension u(t) aux bornes de C. Soit u(0) > 0 au moment t = 0. Trouvez u(t) pour t > 0. D. Sadovskií Oscillateur harmonique libre, et libre amorti 5 décembre 2019 5 Pendule Exercice 2.4 (pendule plan). Considerez le pendule mathématique plan uploads/Litterature/ vibondes.pdf