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Équation aux dérivées partielles En mathématiques, plus précisément en calcul d

Équation aux dérivées partielles En mathématiques, plus précisément en calcul diﬀérentiel, une équation aux dérivées partielles (EDP) est une équation dont les solutions sont les fonctions inconnues vériﬁant certaines conditions concernant leurs dérivées partielles. Une EDP a souvent de très nombreuses solutions, les conditions étant moins strictes que dans le cas d'une équation diﬀérentielle ordinaire (à une seule variable) ; les problèmes incluent souvent des conditions aux limites qui restreignent l'ensemble des solutions. Alors que les ensembles de solutions d'une équation diﬀérentielle ordinaire sont paramétrées par un ou plusieurs paramètres correspondant aux conditions supplémentaires, dans le cas des EDP les conditions aux limites se présentent plutôt sous la forme de fonction ; intuitivement cela signiﬁe que l'ensemble des solutions est beaucoup plus grand, ce qui est vrai dans la quasi-totalité des problèmes. Les EDP sont omniprésentes dans les sciences, puisqu'elles apparaissent aussi bien en dynamique des structures, mécanique des ﬂuides que dans les théories de la gravitation de l'électromagnétisme (équations de Maxwell) ou des mathématiques ﬁnancières (équation de Black-Scholes). Elles sont primordiales dans des domaines tels que la simulation aéronautique, la synthèse d'images, ou la prévision météorologique. Enﬁn, les équations les plus importantes de la relativité générale et de la mécanique quantique sont également des EDP. L'un des sept problèmes du prix du millénaire consiste à montrer l'existence et la continuité par rapport aux données initiales d'un système d'EDP appelé équations de Navier-Stokes. Ces équations servent énormément en mécanique des ﬂuides. Équation aux dérivées partielles - Wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_aux_dérivées_... 1 sur 8 30/03/2013 11:13 Sommaire 1 Introduction 2 Notations 2.1 En mathématiques 2.2 En physique 3 Exemples d'EDP 3.1 Équation de Laplace 3.2 Équation de propagation (ou équation des cordes vibrantes) 3.3 Équation de Fourier 3.4 Équation de Poisson 3.5 Équation d'onde de Langmuir 3.6 Équation de Stokes 3.7 Équation de Schrödinger 3.8 Équation de Klein-Gordon 4 Méthodes de résolution numérique 5 Articles connexes 6 Bibliographie Introduction Une équation diﬀérentielle très simple est : où u est une fonction inconnue de x et y. Cette relation implique que les valeurs u(x,y) sont indépendantes de x. Les solutions de cette équation sont : où f est une fonction de y. L'équation ordinaire : a pour solution : avec c une valeur constante (indépendante de x). Ces deux exemples illustrent qu'en général, la solution d'une équation diﬀérentielle ordinaire met en jeu une Équation aux dérivées partielles - Wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_aux_dérivées_... 2 sur 8 30/03/2013 11:13 constante arbitraire, tandis que les équations aux dérivées partielles mettent en jeu des fonctions arbitraires. Une solution des équations aux dérivées partielles n'est généralement pas unique. Trois catégories importantes d'EDP sont les équations aux dérivées partielles linéaires et homogènes du second-ordre dites elliptiques (en), hyperboliques (en) et paraboliques (en). Notations En mathématiques Pour les EDP, par souci de simpliﬁcation, il est d'usage d'écrire u la fonction inconnue et Dxu (notation française) ou ux (notation anglo-saxonne, plus répandue) sa dérivée partielle par rapport à x, soit avec les notations habituelles du calcul diﬀérentiel : et pour les dérivées partielles secondes : En physique Les opérateurs de l'analyse vectorielle sont utilisés. Résumé d'analyse vectorielle L'opérateur nabla représente le jeu des dérivées partielles d'ordre 1 Pour une fonction vectorielle , en lui appliquant le produit scalaire par , on déﬁnit la divergence: En utilisant le produit vectoriel, on déﬁnit le rotationnel Équation aux dérivées partielles - Wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_aux_dérivées_... 3 sur 8 30/03/2013 11:13 Pour une fonction qui à tout point de l'espace associe un nombre scalaire, , on déﬁnit le gradient: On utilise également l'opérateur Laplacien, analogue de la divergence pour la dérivation d'ordre 2 voir aussi l'opérateur Laplacien vectoriel Exemples d'EDP Équation de Laplace L'équation de Laplace est une EDP de base très importante : où u(x,y,z) désigne la fonction inconnue. En notation d'analyse vectorielle, en utilisant l'opérateur laplacien Soit , fonction d'onde. Équation de propagation (ou équation des cordes vibrantes) Cette EDP , appelée équation de propagation des ondes, décrit les phénomènes de propagation des ondes sonores et des ondes électromagnétiques (dont la lumière). La fonction d'onde inconnue est notée u(x,y,z,t), t représentant le temps : Le nombre c représente la célérité ou vitesse de propagation de l'onde u. Équation aux dérivées partielles - Wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_aux_dérivées_... 4 sur 8 30/03/2013 11:13 En notation d'analyse vectorielle, en utilisant l'opérateur laplacien : Soit , fonction d'onde. Équation d'onde, forme générale Onde Partie longitudinale Partie transversale Propagation Dissipation Voir aussi onde sismique, onde mécanique, Son, Onde sur une corde vibrante, Onde stationnaire dans un tuyau, Equations de Maxwell Équation de Fourier Cette EDP est également appelée équation de la chaleur. La fonction u représente la température. La dérivée d'ordre 1 par rapport au temps traduit l'irréversibilité du phénomène. Le nombre est appelé diﬀusivité thermique du milieu. En notation d'analyse vectorielle, en utilisant l'opérateur laplacien : Soit , fonction d'onde de température. Équation de Poisson En utilisant l'opérateur laplacien : Soient , fonction d'onde et densité de charge. Équation d'onde de Langmuir Soient , fonction d'onde et densité de charge. Cette équation décrit des ondes électriques longitudinales en propagation dans un plasma. Équation aux dérivées partielles - Wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_aux_dérivées_... 5 sur 8 30/03/2013 11:13 Équation de Stokes L'équation de Stokes, qui décrit l'écoulement d'un ﬂuide newtonien incompressible en régime permanent et à faible nombre de Reynolds, s'écrit : , Notations : est la vitesse du ﬂuide ; est la pression dans le ﬂuide ; est la masse volumique du ﬂuide est la viscosité dynamique du ﬂuide; est une force massique s'exerçant dans le ﬂuide (par exemple : pesanteur) ; et sont respectivement les opérateurs diﬀérentiels gradient et laplacien. Équation de Schrödinger Article détaillé : Équation de Schrödinger. Notations : , fonction d'onde. constante de planck réduite. m est la masse de la particule. nombre complexe imaginaire tel que . V opérateur potentiel (représente le potentiel en tout point), en général électrique. est le laplacien. Équation de Klein-Gordon Article détaillé : Équation de Klein-Gordon. Soit , fonction d'onde. Notations : Équation aux dérivées partielles - Wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_aux_dérivées_... 6 sur 8 30/03/2013 11:13 , fonction d'onde. constante de planck réduite. m est la masse de la particule. c est la vitesse de la lumière est le laplacien. Méthodes de résolution numérique Les méthodes numériques les plus couramment utilisées pour la résolution des équations aux dérivées partielles sont : Méthode des diﬀérences ﬁnies Méthode des éléments ﬁnis Méthode des volumes ﬁnis Méthode des caractéristiques Articles connexes Opérateur diﬀérentiel Opérateur pseudo-diﬀérentiel Transformée de Laplace Bibliographie Lars Hörmander ; The analysis of linear partial diﬀerential operators, Springer- Verlag (1983 à 1985). Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume I est sous-titré : Distribution theory and Fourier analysis, et le volume II : Diﬀerential operators with constant coeﬃcients. Les volumes III et IV sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-diﬀérentiels. Lars Hörmander ; Linear Partial Diﬀerential Operators, Springer-Verlag (1963). Le livre qui contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962. Yu.V . Egorov & M.A. Shubin ; Foundations of the Classical Theory of Partial Diﬀerential Equations, Springer-Verlag (2ème édition - 1998), ISBN 3-540-63825-3. Premier volume d'une série qui en comporte neuf, écrits pour l' Encylopaedia of Mathematical Sciences. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-diﬀérentiels. Michael E. Taylor ; Partial Diﬀerential Equations - Basic Theory, Series: Texts in Applied Mathematics, Vol. 23, Springer-Verlag (2ème édition - 1999), Équation aux dérivées partielles - Wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_aux_dérivées_... 7 sur 8 30/03/2013 11:13 ISBN 0-387-94654-3. Premier volume d'une série qui en comporte trois. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo- diﬀérentiels. Vladimir I. Arnold ; Lectures on partial diﬀerential equations, Springer-Verlag (2004), ISBN 3-540-40448-1. Ce document provient de « http://fr.wikipedia.org /w/index.php?title=Équation_aux_dérivées_partielles&oldid=89802242 ». Dernière modiﬁcation de cette page le 12 mars 2013 à 17:08. Droit d'auteur : les textes sont disponibles sous licence Creative Commons paternité partage à l’identique ; d’autres conditions peuvent s’appliquer. Voyez les conditions d’utilisation pour plus de détails, ainsi que les crédits graphiques. En cas de réutilisation des textes de cette page, voyez comment citer les auteurs et mentionner la licence. Wikipedia® est une marque déposée de la Wikimedia Foundation, Inc., organisation de bienfaisance régie par le paragraphe 501(c)(3) du code ﬁscal des États-Unis. 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