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INSPECTION PÉDAGOGIQUE RÉGIONALE DE MATHÉMATIQUES maths.ac-creteil.fr Octobre 2

INSPECTION PÉDAGOGIQUE RÉGIONALE DE MATHÉMATIQUES maths.ac-creteil.fr Octobre 2019 DÉMONTRER, PARTAGER, JOUER en au cycle 4 MATHéMATIQUES BROCHURE MATHÉMATIQUES CYCLE 4 ± ACADÉMIE DE CRÉTEIL ± SEPTEMBRE 2019 2 Ont participé à la rédaction de cette brochure : Helmy ABIDA BEN MANSOURA Collège Federico Garcia Lorca 93 Saint Denis Alberto AHUMADA Collège Roger Martin du Gard 93 Epinay-sur-Seine Loïc ASIUS Collège Liberté 93 Drancy Julie BERNARD Collège F. et I. Joliot-Curie 94 Fontenay-sous-Bois Martine BRUNSTEIN Collège du Parc 94 Sucy-en-Brie Julie CARRY Collège République 93 Bobigny Arnaud DAVIN Collège Pierre Sémard 93 Drancy Pascal FABRÈGUES Collège Condorcet 77 Pontault-Combault Fabienne GLEBA Collège De Lattre 94 Le Perreux-sur-Marne Valérie HERNANDEZ Collège du Montois 77 Donnemarie-Dontilly Émilie JADOUL Collège Clos-Saint-Vincent 93 Noisy-le-Grand Geoffroy LABOUDIGUE Collège Roger Martin du Gard 93 Epinay-Sur-Seine Carine LABOUSSET-COFFIN Collège Denecourt 77 BOIS-LE-ROI Romain LANCINI Collège Françoise Giroud 94 Vincennes Matthieu LE GOFF Collège Mandéla 93 Blanc-Mesnil Nicolas LEMOINE Collège International 93 Noisy-le-Grand Linda MAGRINI Collège Pierre Sémard 93 Drancy Mohammed MESMOUDI Collège J.-Y. Cousteau 77 Bussy Saint-Georges Cyril MICHAU Collège International 93 Noisy-le-Grand Christelle SERRA Collège Liberté 94 Chevilly La Rue Luc TRESCOL Collège É. Zola 94 Choisy-le-Roi Ainsi que Philippe DUTARTE et Thierry ICHELMANN, I.A.-I.P.R. de mathématiques, pour la coordination. BROCHURE MATHÉMATIQUES CYCLE 4 ± ACADÉMIE DE CRÉTEIL ± SEPTEMBRE 2019 3 Sommaire Présentation ..«««««««««««««««««««««««««««««««.5 PARTIE 1 : DÉMONTRER ET RAISONNER «««««««««««««««««7 Introduction Carte mentale I - Dispositifs pédagogiques ««««««««..««««« «««««««««..11 A. La démonstration en mathématiques avec le numérique Première démonstration : Cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle Deuxième démonstration : Relation entre le cosinus et le sinus d'un angle aigu B. Débat en classe C. Recherches et présentations collaboratives D. La course aux conjectures II - Démonstrations de résultats de cours ««««...««««««««««««...26 A. Démonstrations de résultats de cours sur les fractions en cinquième «««««..26 Compte rendu : Activité 1 puis activité 4 propositions 1 et 2 ««««««««....... Compte rendu : Activité 2 puis activité 4 proposition 3 «««««««««««.... Compte rendu : Activité 3 puis activitp 4 propositions 4 et 5 «««««««««... Observations et remarques B. Démontrer en calcul littéral «««««««««««...«««««««««..43 C. Grâce à la démonstration «««««««««««.... ««««««««««47 D. La réciproque du théorème de Pythagore «««««««««««....................66 III - Démonstrations en contexte «««««««««««.... ««««««««...71 A. Présentation de la démonstration en géométrie j une classe de quatriqme «««71 Première séance : Jeu de l'oie Deuxième séance : Mais qui a tué MELLE Rose ? Troisième séance : Le Puzzle B. Différenciation dans la conjecture d'un rpsultat «««««««««««.........78 Premier temps : Démarche par essais/ajustements Deuxième temps : Travail de recherche Troisième temps : Approfondissement C. La réciproque du théorème de Thalès «««««««««««........................86 D. Égalité vraie ou égalité fausse ? «««««««««««.................................93 E. Des Pommes et des poires ? «««««««««««««««««««.......99 BROCHURE MATHÉMATIQUES CYCLE 4 ± ACADÉMIE DE CRÉTEIL ± SEPTEMBRE 2019 4 PARTIE 2 : PARTAGER SELON UN RATIO ««««««««««.......................107 I - Le ratio en classe de cinquième «««««««««««...........................108 Programmes de mathématiques Repères de progression (classe de 5ème) Enoncés fournis aux élèves Déroulement extrait du cahier de textes d͛ƵŶe cůaƐƐe Compte rendu : Activité Compte rendu : Leçon Compte rendu : Exercices Compte rendu : Évaluation de tâche à prise d¶initiative II - Le ratio en quatrième ou en troisième «««««««««««.......................120 Introduction Objectifs pédagogiques Dans les programmes Déroulé Analyse III - Une trace écrite de cours sur le Ratio «««««««««««.......................132 IV - Barre de ratio «««««««««««..............................................................133 Déroulement de la phase d'amorce Déroulement de la question flash Fichiers joints sur le site académique PARTIE 3 : JOUER AVEC LES MATHÉMATIQUES «««««««««............141 I - Game of Steps «««««««««««....««««««««..««..................142 Introduction Objectifs pédagogiques Les consignes et la réalisation attendue Dans les programmes Déroulé Analyse Annexes II - Jouer avec la géométrie et la perception : « miroir, mon beau miroir ! » ««...147 III - Escape-Game Mathém¶Antiqueௗ: Maths-Grec-Latin «««««««««....154 IV - Jouer avec les mathématiques et le numérique ««««««««««............157 Défi Tables : l¶application phare Transformations : Symétrie, rotation, translation et homothétie sur tablettes ! Repérages : une rpfprence pour faire du repprage dans l¶espace...mais pas que ! Conclusion BROCHURE MATHÉMATIQUES CYCLE 4 ± ACADÉMIE DE CRÉTEIL ± SEPTEMBRE 2019 5 Présentation Le rapport VILLANI-TOROSSIAN (fpvrier 2018) a rappelp l¶importance qu¶il \ a j manipuler, à jouer et à développer ses capacités à raisonner. Ces éléments ont été pris en compte, et les programmes s¶en font fortement l¶pcho, j la fois au primaire, au collqge et au lycée. Le groupe académique de réflexion et de production en Mathématiques pour le cycle 4, dont l¶objectif est de produire des ressources pour soutenir et accompagner les enseignants de collège autour de thématiques proposées par les enseignants, autour des priorités nationales, dans le cadre du projet académique, autour des nouveaux programmes, ou autour des éléments liés aux nouvelles réformes, a pour l¶annpe scolaire 2018-2019, choisi de travailler autour de la démonstration, du jeu et de la notion de ratio, notion qui intervenait pour la première fois dans les programmes cette année-là. Amener les élèves à développer leurs capacités déductives, à identifier les définitions de leur cours, et, s¶il le faut, j les traduire sous une forme opprationnelle pour dpmontrer des résultats, est extrêmement formateur pour la structuration de la pensée de nos élèves, sans parler de la grande fiertp qu¶ils pprouvent lorsqu¶ils finissent par trouver un rpsultat. Ce travail est mis en place en particulier j l¶aide des dispositifs © Débat en classe » et « Recherches et présentations collaboratives ». Les expérimentations qui ont été finalisées au sein du groupe, menées dans des classes et dont les retours ont été partagés, analysés et commentés dans le groupe, ont alors donné lieu aux articles (relus et corrigés) que nous vous proposons dans cette brochure. Nous sommes convaincus que ces quelques exemples et propositions (présentés et commentps) vous seront d¶une aide prpcieuse, afin de vous permettre de mieux encore accompagner vos plqves, de leur montrer l¶importance de dpvelopper leurs capacités à justifier, j argumenter, j dpmontrer, l¶intprrt de jouer avec les mathpmatiques, et comment renforcer les compétences mathématiques à travers le jeu. Vous y trouverez également des pistes pour introduire cette nouvelle notion, le ratio, en y donnant du sens, en se basant sur une approche intuitive et spontanée, plus que sur son aspect technique, et y enrôler alors les élèves, avec plaisir et intérêt. Nous vous souhaitons donc de bons moments d¶pchanges, de partage, et d¶e[pprimentation en équipes. Les IA-IPR de mathpmatiques de l¶acadpmie de Crpteil. BROCHURE MATHÉMATIQUES CYCLE 4 ± ACADÉMIE DE CRÉTEIL ± SEPTEMBRE 2019 6 BROCHURE MATHÉMATIQUES CYCLE 4 ± ACADÉMIE DE CRÉTEIL ± SEPTEMBRE 2019 7 PARTIE 1 : DÉMONTRER ET RAISONNER Alberto Ahumada ± Collège Roger Martin du Gard d¶Epina\-sur-Seine (93) Loïc Asius ± Collège La Liberté de Drancy (93) Martine Brunstein ± Collège du Parc de Sucy-en-Brie (94) Julie Carry ± Collège République de Bobigny (93) Arnaud Davin ± Collège Pierre Sémard de Drancy (93) Pascal Fabrègues ± Collège Condorcet de Pontault-Combault (77) Romain Lancini ± Collège F. Giroud de Vincennes (94) Linda Magrini ± Collège Pierre Sémard de Drancy (93) Mohammed Mesmoudi ± Collège J.Y. Cousteau de Bussy-Saint-Georges (77) © – Fond : Mendelbrot set image Binette228 Æ Free to share, to remix BROCHURE MATHÉMATIQUES CYCLE 4 ± ACADÉMIE DE CRÉTEIL ± SEPTEMBRE 2019 8 Introduction Extraits du Bulletin officiel n° 30 du 26-7-2018. © Ministère de l'Éducation nationale - www.education.gouv.fr « La formation au raisonnement et l¶initiation j la dpmonstration sont des objectifs essentiels du c\cle 4. Le raisonnement, au c°ur de l'activitp mathpmatique, doit prendre appui sur des situations variées (par exemple problèmes de nature arithmétique ou géométrique, mais pgalement mise au point d¶un programme qui doit tourner sur un ordinateur ou pratique de jeux pour lesquels il faut développer une stratégie gagnante, individuelle ou collective, ou maximiser ses chances). Le programme du c\cle 4 permet d¶initier l¶plqve j diffprents t\pes de raisonnement, le raisonnement dpductif, mais aussi le raisonnement par disjonction de cas ou par l¶absurde. La dpmonstration, forme d¶argumentation propre au[ mathpmatiques, vient compléter celles dpvelopppes dans d¶autres disciplines et contribue fortement j la formation de la personne et du cito\en (domaine 3 du socle). L¶apprentissage de la dpmonstration doit se faire de maniqre progressive, à travers la pratique (individuelle, collective, ou par groupes), mais aussi par l¶e[emple. C¶est pourquoi il est important que le cours de mathpmatiques ne se limite pas j l¶application de recettes et de rqgles, mais permette de mettre en place quelques démonstrations accessibles aux élèves. De nombreux résultats figurant dans ce programme peuvent être démontrés en classe, selon des modalités variées : certaines démonstrations peuvent être élaborées et mises au point par les élèves eux-mêmes (de manière individuelle ou collective), sous la conduite plus ou moins forte du professeur ; d¶autres, inaccessibles j la recherche des élèves, tireront leur profit des explications et des commentaires apportés par le professeur. Certaines démonstrations possibles (aussi bien sur les nombres et le calcul qu¶en géométrie) sont identifiées dans le programme. Les enseignants ont la liberté de choisir ceux des rpsultats qu¶ils souhaitent dpmontrer ou faire dpmontrer, en fonction du niveau et des besoins de leurs uploads/Management/ brochure-cyc1fc5.pdf