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ENSIETA, BREST FRANCE CENTRE DE RECHERCHE "EXTRACTION ET EXPLOITATION DE L'INFO

ENSIETA, BREST FRANCE CENTRE DE RECHERCHE "EXTRACTION ET EXPLOITATION DE L'INFORMATION EN ENVIRONNEMENTS INCERTAINS R R RE E EP P PR R RE E ES S SE E EN N NT T TA A AT T TI I IO O ON N NS S S T T TE E EM M MP P PS S S- - -F F FR R RE E EQ Q QU U UE E EN N NC C CE E E E E ET T T T T TE E EM M MP P PS S S- - -E E EC C CH H HE E EL L LL L LE E E André QUINQUIS. Cornel IOANA - Janvier, 2002 - SOMMAIRE 1 Introduction……………………………………………………………... 1 1.1. La notion de signal………………………………………………………………..1 1.2. Structure d'une chaîne de traitement……………………………………………1 1.3. Place de la discipline "Analyse temps-fréquence" ……………………………...2 1.4. Organisation de cet ouvrage……………………………………………………...3 2 Rappels mathématiques.…………………...……………………………5 2.1. Les concepts de base……………………………………………………………...5 2.1.1. La norme et le produit scalaire ………………………………………………………...5 2.1.2. Les espaces de Hilbert……………...…………………………………………………...6 2.1.3. Rappel sur la théorie des opérateurs linéaires ..………………………………………...7 2.1.4. Bases des fonctions dans un espace de Hilbert …………………………………………8 2.2. La représentation du signal……………………………………………………...9 2.2.1. La décomposition atomique……………………………………………………….……9 2.2.2. Les bases orthonormales ……….……………………………………………………...9 2.2.3. Les bases de Riesz ……………………………………………………….…………….10 2.2.4. La théorie des cadres ………………………………………………………………….11 2.2.5. La procédure d'orthogonalisation de Gramm-Smidt ………………………………...12 2.3. Rappel sur la théorie des matrices…..………………………………………….13 2.3.1. Notion de déterminant……………………………………………….…………….…..14 2.3.2. Vecteurs et valeurs propres………………………………………….…………….…..15 2.3.3. Matrices spéciales…………..……………………………………….…………….…...16 2.3.4. Propriétés de dérivation des matrices……………………………….…………….…..16 2.4. Rappel sur les variables et signaux aléatoires...……………………………….17 2.4.1. Variable aléatoire réelle et rappels………………………………….…………….…..17 2.4.2. Processus aléatoires………………………………………………….…………….….20 2.5. Conclusions……………………………………...……………………………….23 Exercices et problèmes ………………………………………………………………………24 3 Généralités sur les signaux non-stationnaires.…………………...…...27 3.1. Méthodes de base pour le traitement des signaux stationnaires..…………….27 3.1.1. Les structures temporelles et fréquentielles………………………….…………….….27 3.1.2. Eléments d'analyse spectrale………………...……………………….…………….….28 3.2. Le concept de signal non-stationnaire…………………………....…………….34 3.2.1. Définition de la non-stationnarité……………………...…………….…………….….34 3.2.2. Mesures de non-stationnarité……………...…………….…………….……………....35 3.3. Modèles et approches non-stationnaires………………………....…………….40 3.3.1. Approche adaptative………………….………………...…………….…………….….40 3.3.2. Approche évolutive……...…………….………………...…………….…………….….40 3.3.3. Stationnarité par morceaux…………..………………...…………….…………….….41 3.3.4. Modèle à coefficients aléatoires………...……………...…………….…………….….41 3.3.5. Représentations temps-fréquence et/ou temps-échelle……………....…………….….41 3.4. Limitations de la transformée de Fourier….…………………....………….….42 Exercices et problèmes ………………………………………………………………………44 4 Représentations temps-fréquence linéaires.…. .……………….…..…46 4.1. Transformée de Fourier à court terme. Spectrogramme……....………….….46 4.1.1. Définitions………………….………………...……………………….…………….….46 4.1.2. Propriétés générales de la TFCT et du spectrogramme……………..…………….….47 4.1.3. Le pavage temps-fréquence généré par le spectrogramme………….…………….….50 4.1.4. Considérations sur la discrétisation du spectrogramme…………….…………….….51 4.1.5. Conclusion………...……….………………...……………………….…………….….51 4.2. La transformée de Gabor…………………………………...…....………….….52 4.2.1. Définition………….……….………………...……………………….…………….….52 4.2.2. Implémentation de la transformée de Gabor………….……….………………...…….52 4.2.3. Sélection optimale de l'ensemble dual des fonctions……..………….…………….….55 4.2.4. Conclusions……….……….………………...……………………….…………….…..57 4.3. La transformée ondelettes continue……………………...…....………….…....57 4.3.1. La notion d'ondelette. Exemples…………...……………..………….…………….….52 4.3.2. La transformée ondelettes continue directe……………..………….…………….…...61 4.3.3. La transformée ondelettes continue inverse……………..………….…………….…...61 4.3.4. La discrétisation de la transformée ondelettes continue……..…….…………….…...64 4.3.5. Le scalogramme. Comparaison entre la TFCT et la TOC………....…………….…...65 4.3.6. La transformée ondelettes supracomplete……..………..………….…………….…...66 Exercices et problèmes ………………………………………………………………………68 5 Analyse multirésolution et paquets d'ondelettes.…....……………….70 5.1. Analyse multirésolution……....……………………………………………...….70 5.1.1. Définition et propriétés de l'analyse multirésolution…….………….…………….….70 5.1.2. Les classes de bases ondelettes……………………………………….…………….….74 5.2. Les ondelettes et les bancs de filtres………………………………………...….82 5.2.1. La transformation ondelettes rapide……………………...………….…………….….82 5.2.2. Les bancs de filtres à reconstruction parfaite………….....………….…………….….87 5.3. Ondelettes biorthogonales…………………………………………………...….90 5.3.1. Ondelettes biorthgonales splines………….……………...………….…………….…..92 5.3.2. Pseudo-coiflets…………………………….……………...………….…………….…..93 5.4. Analyse en paquets d'ondelettes …………………………………………...….94 5.4.1. Préliminaires……...……………………….……………...………….…………….….94 5.4.2. La notion d'arbre de décomposition……...………………………....…………….…..95 5.4.3. Sélection de la meilleure base…………….……………...………….…………….…..97 5.4.4. La reconstruction du signal………...…….……………...………….…………….…101 5.4.5. Exemples d'application……..…………….……………...………….…………….….102 5.4.6. Décomposition en paquets d'ondelette 2D……………...………….…………….…..104 5.5. Analyse en paquets d'ondelettes invariante en temps……………………...106 5.5.1. Préliminaires……...……………………….……………...………….…………….…106 5.5.2. La librairie de paquets d'ondelettes invariante en temps……...…………………….106 5.5.3. Sélection de la meilleure base…………….……………...………….……………….108 5.5.4. Comparaison entre la décomposition en paquets d'ondelette classique et celle invariante en temps………………………………………………………………………….110 5.5.5. La décomposition en paquets d'ondelettes invariante en temps 2D………..……….111 Exercices et problèmes ……………………………………………………………………..113 6 Représentations temps-fréquence bilinéaires…..…....……………...116 6.1. La transformée de Wigner-Ville…………………………………………….116 6.1.1. Définition………….……….………………......……………………….…………….116 6.1.2. Propriétés générales de la distribution de Wigner-Ville……...……….…………….118 6.1.3. Les termes d'interférence générés par la DWV………….……….………………....122 6.1.4. La DWV discrète….……….………………......……………………….…………….124 6.1.5. L'implémentation de la DWV discrète….……….………………......……………….126 6.2. La transformée de Pseudo Wigner-Ville……………………………………128 6.2.1. Définition………….……….………………......……………………….…………….128 6.2.2. Comparaison entre la distribution de pseudo Wigner-Ville et le spectrogramme….128 6.2.3. La distribution de pseudo Wigner-Ville lisée………………………….…………….129 6.2.4. Implémentation de la PWVL……..………......……………………….……………..132 6.3. La classe de Cohen………………………………………………...…………133 6.3.1. La fonction d'ambiguïté………….………........……………………….…………….133 6.3.2. La définition de la classe de Cohen……….......……………………….…………….137 6.3.3. Les membres de base de la classe de Cohen……….......……………………….……139 6.3.4. Conclusion……………………………...….......……………………….…………….147 6.4. Le noyau gaussien adaptatif……………………………………...…………148 Exercices et problèmes ……………………………………………………………………..154 7 Représentations temps-fréquence modernes…..…....……………...157 7.1. Motivations……………………..…………………………………………….157 7.2. Le principe des décompositions temps-fréquence adaptatives……………158 7.3. La distribution de Wigner-Ville modifiée……………………..……………159 7.4. Le dictionnaire adaptatif chirplets à 4 paramètres…………...……………161 7.4.1. Expression mathématique des fonctions chirplet……..……………….…………….162 7.4.2. La RTFA obtenue à partir de DAC4…………………..……………….…………….162 7.5. Résultats exprerimentaux…………………………….………...……………166 7.6. Conclusion. Perspectives……..……………………….………...……………169 ANNEXE 1. Implémentation des décompositions en paquets d'ondelettes……………………….171 1. Introduction ENSIETA, Janvier 2002 Centre de Recherche "Extraction et Exploitation de l'Information en Environnements Incertains" 1 1 INTRODUCTION 1.1. La notion de signal Par définition, un signal est le support physique d'une information. Il s'agit d'une notion tout à fait générale que l'on peut rencontrer dans des domaines aussi variés que l'électricité, l'électronique, l'acoustique, l'optique, la mécanique, l'astronomie, la biologie, l'économie etc. En fait, on évoquera un signal lors qu'il y a mesure et/ou transmission d'information d'une source vers un destinataire. Traiter un signal, c'est essentiellement en extraire l'information que l'on juge utile, la mettre en forme pour mieux l'analyser, la transmettre ou la stocker, l’épurer de parasites éventuels. 1.2. Structure d'une chaîne de traitement Le signal matérialise le transfert d'une information. On peut alors distinguer un certain nombre d'opérations ou de situations qui sont communes à toute chaîne de traitement. On peut en tout premier lieu distinguer les opérations : § Le pré-traitement qui est essentiellement relatif à la prise d'information elle-même, aux capteurs et à leurs propriétés; § Le traitement proprement dit qui constitue le cœur de ce qu'on appelle le traitement du signal; § Le post-traitement qui inclut les actions (on parle alors plutôt d'automatique) ou des méthodes symboliques ou de contexte (vision, intelligence artificielle etc…). D'une manière assez générale, on peut résumer une chaîne de traitement du signal par le schéma suivant : Figure 1.1. Le schéma général d'une chaîne de traitement Ce schéma met en jeu plusieurs espaces et des applications entre ces espaces. Les espaces sont ceux : § Des états : c'est là que se trouve l'information utile; § Des signaux : ce sont eux qui matérialisent les états possibles; § Des observables : ce sont les seules grandeurs disponibles pour l'utilisateur; § Des décisions : c'est là que se matérialisent les opérations relatives aux signaux; § Des représentations : elles permettent de changer la façon dont on regarde un signal et peuvent soit aider à l'analyse seule, soit constituer un détour utile pour construire une décision. Représentations Etats Signaux Observables Décisions 1. Introduction ENSIETA, Janvier 2002 Centre de Recherche "Extraction et Exploitation de l'Information en Environnements Incertains" 2 Les liens qui unissent ces différents espaces correspondent à des opérations de § Codage entre états et signaux; § Transmission (au sens large) entre signaux observables et décisions (l'espace des décision étant supposé isomorphe à l'espace des états). Nous pouvons donc formuler une problématique générale du traitement du signal de la façon suivante : Il est clair qu'un tel objectif nécessite d’expliciter ce que l'on entend par "meilleure" et par "au mieux". Il faudra donc définir des critères qu'il s'agira d'optimiser. Par ailleurs, l'objectif ne pourra être atteint que si un certain nombre d'informations (a priori) supplémentaires sont disponibles. Celles-ci pourront concerner : − La nature ou les états d'un système; − Le type de codage; − Les informations relatives au canal de transmission et au bruit d'observation, etc. Ceci étant supposé, le schéma décrit ci-dessus permet d'englober la majorité des tâches essentielles auxquelles est confronté le traitement du signal : - La détection : l'espace des états est alors discret (voire binaire) et le problème posé est de savoir si une observation donnée correspond au signal utile mélangé du bruit ou à un bruit seul; - L'analyse et l'estimation des paramètres : il s'agit cette fois, et toujours à partir d'une observation imparfaite, de caractériser un signal par un jeu de paramètres qui le définite; - Le filtrage : Il s'agit d'estimer un signal dans son ensemble et non par l'intermediaire d'un petit nombre de paramètres caractéristiques. Ces tâches élémentaires apparaissent souvent couplées, les problèmes réels faisant fréquemment intervenir simultanément des opérations de filtrage et/ou de détection-estimation. On peut aussi citer quelques exemples d'application pour lesquels le traitement du signal est prépondérant: § Le traitement de la parole : analyse, synthèse, codage, transmission, reconnaissance, commande vocale; § L'audio (compact disc) et la vidéo (TVHD) numériques; § Les télécommunications : téléphone, radio-mobile, vidéo-mobile, vidéo-conférence; § Le radar et le sonar (passif ou actif); § Le control non-destructif (par ultrasons ou par courrant de Foucault); § L'astronomie : imagerie optique et radio, interférométrie, optique adaptative; § La physique : turbulence, géophysique (interne et externe), sismique; § L'automobile et les industries mécaniques : diagnostic vibratoire; § Le nucléaire : surveillance et détection précoce d'incidents; § L'imagerie satellitale. 1.3. Place de la discipline "Analyse temps-fréquence" De par ses objectifs, le traitement du signal est clairement à une situation carrefour. Il uploads/Management/ carte-representations-temps-frequences-ensieta.pdf