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La méthode des éléments finis 1 CHapitre I:Introduction de la méthode des éléme

La méthode des éléments finis 1 CHapitre I:Introduction de la méthode des éléments finis I.1 NOTIONS INTRODUCTIVES I.1.1 INTRODUCTION La méthode des éléments finis (abrégée MEF) font maintenant partie des outils couramment utilisés lors de la conception et à l’analyse des produits industriels. Les outils d’aide à la modélisation devenant de plus en plus perfectionnés, l’utilisation de la méthode des éléments finis s’est largement développée et peut sembler de moins en moins une affaire de spécialistes. Si l’utilisation de la méthode se démocratise de par la simplicité croissante de mise en œuvre, la fiabilité des algorithmes et la robustesse de la méthode, il reste néanmoins des questions essentielles auxquelles l’ingénieur devra répondre s’il veut effectuer une analyse par éléments finis dans de bonnes conditions : •formaliser les non dits et les réflexions qui justifient les choix explicites ou implicites de son analyse du problème. •évaluer la confiance qu’il accorde aux résultats produits. •analyser les conséquences de ces résultats par rapport aux objectifs visés. L’objectif de cette partie est de présenter les principes de base de cette méthode en insistant sur l’enchaînement des tâches (démarche et hypothèses associées) qui assurent la cohérence du processus de calcul. Ces connaissances vous seront utiles pour maîtriser les deux principales difficultés de mise au point d’un modèle numérique : •problèmes préliminaires à la phase de calcul ; •problèmes liés à l’exploitation des résultats et le retour à la conception. La méthode des éléments finis 2 Il ne faut pas perdre de vue que l’analyse des résultats nécessite une bonne compréhension des différentes étapes mathématiques utilisées lors de l’approximation, pour pouvoir estimer l’erreur du modèle numérique par rapport à la solution exacte du problème mathématique. Sans oublier que le modèle numérique ne peut fournir que de résultats relatifs aux informations contenues dans le modèle mathématique qui découle des hypothèses de modélisation. Nous nous limiterons à la présentation de modèles élémentaires utilisés dans le cadre des théories linéaires. Bien que simples ces modèles permettent déjà de traiter un grand nombre d’applications liées aux problèmes de l’ingénieur. Du point de vue pédagogique, ils sont suffisamment complexes pour mettre en avant les difficultés de mise en œuvre de la méthode. Cette méthode a été appliquée pour la première fois dans des problèmes liés à l’analyse des contraintes et depuis, elle a été étendue dans d’autres problèmes liés au milieu continu. Dans toutes les applications l’analyste recherche à calculer une quantité de champ, comme par exemple : Application Quantité de champ • Analyse des contraintes Champ des contraintes ou champ des déplacements • Analyse thermique Champ de température ou flux de chaleur • Ecoulement des fluides Fonction de courant ou fonction du potentiel de vitesse II.1.2 discrétisation du milieu continu en sous domaines (nœuds et éléments) Une description en MEF pourrait être définie sous la forme suivante : la structure à analyser est divisée en plusieurs éléments (petites pièces comme celles qui forment un puzzle). Ces éléments sont ensuite reconnectés par l’intermédiaire des La méthode des éléments finis 3 noeuds (fig.1.1). Ces noeuds sont « des punaises » ou « des points de colle » qui maintiennent les éléments dans un ensemble unitaire. fig.1 Discrétisation d’une structure en noeuds et éléments (dent d’une roue dentée) Le comportement de chaque élément est décrit par un set d’équations algébriques. Dans l’analyse des contraintes ces équations sont des équations d’équilibre des noeuds. Du fait que le nombre de ces équations est très grand (centaines ou milliers), l’utilisation d’un ordinateur est absolument obligatoire. Autrement dit, dans un élément, une quantité de champ (ex. le champ de déplacement) est interpolé à partir des valeurs existantes dans les noeuds. En connectant les éléments ensemble, la quantité de champ devient interpolée sur l’entier de la structure. Les meilleures valeurs de la quantité de champ dans les noeuds sont celles qui minimisent certaines fonctions (telle que l’énergie La méthode des éléments finis 4 totale). Le processus de minimisation génère un set d’équations algébriques simultanées pour les différentes valeurs de la quantité de champ dans les noeuds. Ce set d’équations est décrit sous forme matricéelle par :     = K F où :  = vecteur d’inconnues (valeurs de la quantité de champ dans les noeuds – ex : vecteur des déplacements) ; [K] = matrice des constates (connue – ex : matrice de rigidité) ; {F} = vecteur des chargements (connu – ex : matrice des forces nodales). II.1.3 Etapes d’analyse par la MEF Pour faire une analyse par MEF prenez soin lorsque vous faites la modélisation. Mieux vaut prévenir que guérir. Le processus de modélisation nécessite que l’action physique du problème à être résolu doit être bien comprise afin de choisir des types d’éléments finis appropriés, convenables, qui puissent représenter de façon adéquate l’action physique réelle. La méthode des éléments finis 5 Principales étapes pour une analyse par la Méthode des Eléments Finis La méthode des éléments finis 6 Il est souhaitable de ne pas utiliser des éléments « déformés » ou des éléments grossiers pour représenter des variations considérables d’une certaine quantité de champ. A l’autre extrême un sur-raffinage pourrait conduire à une perte de temps pour l’analyste ainsi qu’à un surchargement de la mémoire de l’ordinateur. Cependant, même si un grand nombre d’éléments est utilisé dans la discrétisation il y a une erreur dénommée erreur de discrétisation qui existe du fait que la structure physique et le modèle mathématique ont une infinité de degrés de liberté (qui sont au fait les déplacements pour une infinité de points de la structure, tandis que le modèle avec éléments finis a un nombre fini de degrés de liberté. Combien d’éléments sont-ils nécessaires pour une discrétisation ? Imaginons que nous réalisons deux analyses par MEF, la deuxième fois utilisant un réseau de discrétisation plus raffiné. Ce modèle aura moins d’erreurs de discrétisation par rapport au premier et représentera mieux la géométrie si l’objet physique a des surfaces courbes. Au cas où les deux analyses conduisent vers des solutions similaires, on suspecte que les résultats n’ont pas d’erreurs remarcables. Le processus itératif de discrétisation s’arrêtera au moment où les erreurs par rapport à la plus fine discrétisation sont situées au dessous de 5%. A part les erreurs introduites par l’analyste lors de la discrétisation, l’ordinateur introduit des erreurs numériques par l’arrondissage ou par le tronquage des nombres qui sont introduits dans les matrices et qui servent à la résolution des équations. Les logiciels d’analyse par éléments finis sont devenus sur une large échelle des instruments de calcul facile à utiliser et peuvent afficher les résultats sous une forme très attractive. Même le plus inhabile utilisateur peut offrir une réponse quelle qu’elle soit. Mais une carte joliment colorée des contraintes et des déformations peut être obtenue pour n’importe quel modèle bon ou mauvais. Il se peut que la plupart des analyses par MEF soient si deffectueuses qu’elles ne peuvent pas être dignes de confiance. La méthode des éléments finis 7 Un utilisateur responsable doit comprendre suffisamment bien la nature physique du problème et le comportement des éléments finis afin de préparer un modèle convenable et de bien évaluer la qualité des résultats. La responsabilité des résultats obtenus revient à l’ingénieur qui utilise le logiciel et non pas au vendeur de ce logiciel, même si les résultats sont affectés par les erreurs du programme. II.1.4 Classification des problèmes d’analyse Si la variation du déplacement ou de la contrainte est négligeable suivant l’axe z (la direction normale au plan d’analyse) on considère un problème plan. Si les déplacements et les contraintes variées dans les trois directions (x, y, z) de la structure on considère un problème « Solide 3D ». Un cas spécial de solide ayant symétrie axiale s’appelle de façon usuelle « Solide de révolution ». Les chargements à leur tour peuvent ou non être distribués de façon axiale symétrique. Une plaque plane qui supporte des chargements dans son plan est un problème plan. Par contre, si la plaque est chargée par des forces qui n’agissent pas dans son plan, cela représente un problème de flexion de plaque ou, plus simplement un problème de plaque (en anglais : PLATE PROBLEM ). Si la plaque est courbe elle devient une coque (en anglais : SHELL ). Les réservoirs, par exemple, peuvent être considérés dans l’analyse par la MEF, des coques. En conclusion les éléments finis peuvent être divisés en plusieurs catégories en fonction de la structure : éléments plans, éléments solides 3D, éléments solides à symétrie axiale, éléments de plaque, éléments de coque. On trouve de même des éléments de barre articulée (en anglais : TRUSS), éléments de poutre (en anglais : BEAM), éléments de fondation élastique etc. La méthode des éléments finis 8 II.1.5 Connaissances requises pour la réalisation des logiciels MEF La MEF a un caractère pluridisciplinaire. Pour pouvoir réaliser des logiciels qui puissent résoudre certains types de problèmes dans le domaine du mécanique des solides , il s’impose de maitriser les disciplines suivantes : - la mécanique des structures (statique, dynamique, la résistance des matériaux, les vibrations uploads/Management/ chapitre-i-mef-document.pdf