Cycle Préparatoire IFCI Double Cursus ENSA-INSA Module Outils Mathématiques Reg

Cycle Préparatoire IFCI Double Cursus ENSA-INSA Module Outils Mathématiques Regroupement n◦1 Fonctions Polynômes et Fonctions Rationnelles 1 Fonctions polynômes 1.1 Dé nition et propriétés On appelle fonction polynôme (ou polynôme tout court, par abus de langage) à coe cients dans R (resp. C) toute fonction dé nie sur R (resp. C) de la forme : P(x) = anxn + · · · + a1x + a0 avec : ∀i ∈{0, 1, · · · , n}, ai ∈R (resp. ai ∈C). Dé nition 1.1. On a les dé nitions suivantes : • Le degré de P est la plus grande puissance de x qui apparait dans P(x). On le note d(P) ou deg(P). • La valuation de P est la plus petite puissance de x qui apparait dans P(x). On la note v(P) ou val(P). • Le terme constant de P(x) est a0. • On dit que P est unitaire si le coe cient du terme de plus haut degré (an, si d(P) = n) est égal à 1. Exemple 1.1. 1. P(x) = 5x4 −4x2 + 3x + 2 est un polynôme non unitaire de degré d(P) = 4 et de valuation v(P) = 0. Son terme constant est 2. 2. On considère les polynômes P1(x) = 4x3 −2x, P2(x) = x6 −2x2 −3 et P3(x) = 4. Donner le degré, la valuation et le terme constant de ces polynômes et préciser si elles sont unitaires ou non. 1 Notation. 1. On note R[x] l'ensemble des polynômes à coe cients réels et C[x] l'ensemble des polynômes à coe cients complexes. 2. De même, on note Rn[x] (resp. Cn[x]) le sous-ensemble de R[x] (resp. C[x]) formé des polynômes de degré au plus égal à n. 3. On appelle polynôme nul et on note 0R[x] le polynôme dont tous les coe cients sont nuls. Par convention, d(0R[x]) = −∞et v(0R[x]) = +∞. Attention : P(x) = a0 ̸= 0 est de degré 0. 1.1.1 Opérations élémentaires Soient A et B dans R[x] (resp. C[x]). On note (ak)k∈N (resp. (bk)k∈N) les coe cients de A (resp. de B). • La somme de A et B est un polynôme S dont les coe cients sk, k ∈N sont donnés par : sk = ak + bk, k ∈N. Plus généralement, pour tous réels λ et µ, λA + µB est un polynôme dont les coe cients sont donnés par : λak + µbk, k ∈N. On véri e que : d(A + B) ≤max {d(A), d(B)} et v(A + B) ≥min {v(A), v(B)}. • Les polynômes A et B sont égaux si leur diérence est le polynôme nul. Cela revient à dire que tous leurs coe cients sont égaux. • Le produit de A et B est un polynôme P dont les coe cients notés pk, k ∈N sont donnés par : pk = k X i=0 ai bk−i. On véri e que : d(A B) = d(A) + d(B) et v(A B) = v(A) + v(B). • Le quotient de deux polynômes n'est en général pas un polynôme. Il su t de consi- dérer la fraction : 1/x. Cependant, exactement comme pour les nombres entiers, il est possible de dé nir des divisions de polynômes avec restes. Nous présentons ci-dessous la forme la plus utile pour la suite : la division euclidienne. 2 1.2 Division euclidienne des polynômes Théorème 1.2. Soient A et B deux éléments de R[x] (resp. C[x]), avec B ̸= 0R[x]. Il existe un unique couple (Q, R) d'éléments de R[x] (resp. C[x]) tels que : ( (i) A = B Q + R, (ii) d(R) < d(B). Le polynôme A s'appelle le dividende, B le diviseur, Q le quotient et R le reste de la division euclidienne de A par B. Lorsque R = 0R[x], on dit que B divise A. On appelle polynôme irréductible tout polynôme A de degré ≥1 tel que s'il existe un polynôme B tel que B divise A, alors il existe α ∈R (ou C) tel que B = α ou B = αA. Exemple 1.2. Eectuons la division euclidienne de A(x) = x4−3x+1 par B(x) = x2+1. Ici, on a d(A) > d(B). On pose l'opération de façon analogue à ce que l'on fait pour la division euclidienne des entiers : x4 −3x +1 x2 +1 − (x4 +x2) x2 −1 −x2 −3x +1 − (−x2 −1) −3x +2 On obtient donc x4 −3x + 1 = (x2 + 1)(x2 −1) + (−3x + 2). Remarque 1.1. Si l'on choisit A et B tels que d(B) > d(A), on aura Q = 0K[x] et R = A, par suite de l'unicité de la division euclidienne. Exercice 1.3. Eectuer la division euclidienne de 1. A1(x) = 2x2 −3x + 2 par B1(x) = −x2 −3x + 3, 2. A2(x) = x4 −3x2 + 1 par B2(x) = x2 + 1, 3. A3(x) = x + 1 par B3(x) = x2 −3. 3 1.3 Factorisation des polynômes 1.3.1 Racines d'un polynôme Dé nition 1.4. • On dit que α ∈R (resp. C) est racine de A ∈R[x] (resp. R[x]) si A(α) = 0. • On dit que P ∈R[x] (resp. R[x]) est scindé dans R (resp. C) si P admet toutes ses racines dans R (resp. C). Théorème 1.5. α ∈K est racine de A ∈K[x] si et seulement si x −α divise A. Exemple 1.3. 1. P(x) = 2 x2 −6 x + 4 a pour racines 2 et 1. On peut le voir : - en calculant P(1) = P(2) = 0, - en écrivant P sous la forme P(x) = 2 (x −2) (x −1), - par la formule du trinôme qui donne les racines r1,2 = 6 ± √ 62 −4 × 2 × 4 2 × 2 . 2. x2 + 1 n'a pas de racines dans R. Il a deux racines +i et −i dans C. Remarque 1.2. On sait calculer explicitement les racines d'un polynôme de degré 1 ou 2. On peut trouver des formules qui fournissent celles d'un polynôme de degré inférieur ou égal à 4, mais au-delà, c'est impossible. On doit chercher des racines évidentes et factoriser le polynôme. Exemple 1.4. Une racine du polynôme x3 −6x2 + 12x −8 est 2. La division euclidienne de x3 −6x2 + 12x −8 par x −2 s'écrit : x3 −6x2 +12x −8 x −2 − (x3 −2x2) x2 −4x +4 −4x2 +12x −8 − (−4x2 +8x) 4x −8 − (4x −8) 0 Comme par ailleurs, x2 −4x + 4 = (x −2)2, on obtient x3 −6x2 + 12x −8 = (x −2)3. 4 1.3.2 Racines multiples Dé nition 1.6. On dit que α est racine d'ordre k de P(x), ou encore que l'ordre de multiplicité de la racine α est k, si (x −α)k divise P et (x −α)k+1 ne divise pas P. Lorsque k = 1, on dit que la racine est simple. Proposition 1.7. α racine d'ordre k ⇐ ⇒∃Q ∈R[x] , P(x) = (x −α)k Q(x) où Q(α) ̸= 0 . Proposition 1.8. α racine d'ordre k ⇐ ⇒P(α) = P ′(α) = . . . = P (k−1)(α) = 0 et P (k)(α) ̸= 0. Exemple 1.5. 1) 2 est racine triple (k = 3) de x3 −6x2 + 12x −8. 2) Déterminer les racines de Q(x) = x3 −7x2 + 15x −9. Préciser leur ordre de multiplicité. Théorème 1.9. Un polynôme de degré n ≥0 possède au plus n racines comptées avec leur multiplicité. Corollaire 1.10. Si le polynôme P ∈Kn[x] possède l > n racines, alors P = 0K[x]. Corollaire 1.11. Deux polynômes A et B de même degré n qui prennent des valeurs égales en n + 1 points distincts sont égaux. 5 1.3.3 Le théorème de d'Alembert Théorème 1.12. Tout polynôme P ∈C[x] de degré n ≥1 admet exactement n racines dans C (distinctes ou non), i.e. tout polynôme P de C[x] est scindé dans C. Conséquence : Les polynômes unitaires et irréductibles de C sont de la forme x −α avec α ∈C. 1.3.4 Somme et produit des racines d'un polynôme Les racines r1 et r2 du trinôme a x2 + b x + c, qui s'écrivent r1,2 = −b ± √ b2 −4 a c 2 a véri ent les relations suivantes : r1 + r2 = −b a et r1 r2 = c a. (1) Les relations (1) se généralisent à un polynôme de degré quelconque. Théorème 1.13. Soit P(x) = an xn + . . . + a0 un polynôme scindé dans K. Notons ri, 1 ≤i ≤n les racines de P, comptées avec leur multiplicité. Alors, i) n X i=1 ri = −an−1 an ii) n Y i=1 ri = (−1)n a0 an . Remarque 1.3. Revenons aux racines d'un polynôme de degré 2. 1. En notant S = r1 + r2 et P = r1r2 on a r1 et r2 racines de x2 −Sx + P. 2. De même, si α ∈C, on a α + ¯ α = 2 Re(α) et α¯ uploads/Management/ chapitre-polynomes-fonctions-rationnelles.pdf

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• Publié le Mai 10, 2022
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