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Claude Wagschal Licence / Master Agrégation Écoles d ’ingénieurs MATHÉMATIQUES

Claude Wagschal Licence / Master Agrégation Écoles d ’ingénieurs MATHÉMATIQUES W Ê k ffî. Topologie et analyse fonctionnelle COLLECTION MÉTHODE www.editions-hermann.fr ISBN 978 2 7056 8351 1 © 2012, HERMANN ÉDITEURS, 6 RUE DE LA SORBONNE, 75005 PARIS Toute reproduction ou représentation de cet ouvrage, intégrale ou partielle, serait illicite sans l’autorisation de l’éditeur et constituerait une contrefaçon. Les cas strictement limités à usage privé ou de citation sont régis par la loi du 11 mars 1957. Claude Wagschal Topologie et analyse fonctionnelle Nouvelle édition revue et augmentée H e r m a n n É d it e u r s Table des matières 1 Théorie des ensembles 1 Sommaire 3 A Axiomes de la théorie des ensembles 5 1.1 Les axiomes de Zermelo-Fraenkel................................................... 5 1.2 Produit de deux ensembles, applications, axiome de choix............ 12 1.3 Famille d’ensembles : réunion, intersection, produit...................... 16 B Ensembles ordonnés 21 1.4 Relation d’ordre.................................................................................. 21 1.5 Le lemme de Zorn.............................................................................. 24 1.6 Applications aux espaces vectoriels ............................................... 29 C Ensembles infinis 32 1.7 L’axiome de l’infini............................................................................ 32 1.8 Ensembles équipotents...................................................................... 33 1.9 Ensembles infinis............................................................................... 36 D Corrigés des exercices 40 1.10 Exercices du chapitre L A .................................................................. 40 1.11 Exercices du chapitre 1.B .................................................................. 44 1.12 Exercices du chapitre l .C .................................................................. 45 2 Topologie 49 Sommaire 51 A Nombres réels 55 2.1 Construction des nombres réels......................................................... 55 2.2 Structure de corps totalement ordonné............................................ 58 62 64 66 69 73 73 76 80 84 89 94 96 101 104 106 108 112 116 119 126 132 137 138 140 142 144 148 152 157 157 160 165 168 175 178 183 189 193 TABLE DES MATIÈRES 2.3 Suites convergentes de R ............................................... 2.4 Le théorème de Bolzano-Weierstrass............................ 2.5 Ouverts, fermés et compacts de R ................................ 2.6 Développement par rapport à une b a s e ......................... Espaces topologiques 2.7 Topologie définie par une distance................................ 2.8 Le filtre des voisinages................................................... 2.9 Parties ouvertes, parties ferm ées................................... 2.10 Intérieur, adhérence......................................................... 2.11 L im ite s............................................................................ 2.12 Espaces à base dénombrable de voisinages................... 2.13 Applications continues................................................... 2.14 Fonctions semi-continues............................................... 2.15 Comparaison de topologies............................................ 2.16 Point adhérent à une base de filtre ................................ 2.17 Espaces séparés............................................................... 2.18 Espaces métriques complets ......................................... 2.19 Topologies initiales......................................................... 2.20 Topologie induite............................................................ 2.21 Topologie produit............................................................ 2.22 Produit dénombrable d’espaces m étriques................... 2.23 Topologie de la convergence s im p le ............................ 2.24 Topologies finales, topologie q u o tien t......................... 2.25 Prolongement des applications uniformément continues 2.26 Le théorème du point fixe............................................... 2.27 Topologie de la convergence uniform e......................... 2.28 Le théorème de B aire...................................................... 2.29 Espaces analytiques......................................................... Espaces compacts 2.30 Définitions équivalentes de la compacité...................... 2.31 Propriétés des espaces com pacts................................... 2.32 Le théorème de Tychonoff............................................ 2.33 Espaces métriques com pacts......................................... 2.34 Le théorème d’A scoli...................................................... 2.35 Espaces localement compacts......................................... 2.36 Le théorème d’Urysohn................................................... 2.37 Limite supérieure et inférieure...................................... 2.38 Les espaces projectifs...................................................... TABLE DES MATIÈRES iii D Espaces connexes 197 2.39 Propriétés fondamentales...................................................................... 197 2.40 Parties connexes de la droite ré e lle ...................................................200 2.41 Composante connexe............................................................................203 2.42 Espaces connexes compacts...................................................................206 E Corrigés des exercices 211 2.43 Exercices du chapitre 2.A ......................................................................211 2.44 Exercices du chapitre 2 .B ......................................................................213 2.45 Exercices du chapitre 2 .C ......................................................................248 2.46 Exercices du chapitre 2 .D ......................................................................274 2 Espaces localement convexes 289 Sommaire 291 A Espace localement convexe 295 3.1 Espace vectoriel topologique............................................................... 295 3.2 Topologie définie par des semi-normes................................................297 3.3 Application linéaire et continue............................................................ 303 3.4 Espace localement convexe métrisable................................................308 3.5 Sous-espace, p ro d u it............................................................................312 3.6 Quotient.................................................................................................. 317 3.7 Partie bornée, partie com pacte............................................................ 324 3.8 Partie convexe.........................................................................................329 3.9 Topologie de la convergence uniform e................................................332 B Espaces d’applications linéaires et continues 341 3.10 Norme d’une application linéaire continue......................................... 341 3.11 Les théorèmes de Banach......................................................................345 3.12 Le théorème de Banach-Steinhaus......................................................349 C Dualité dans les espaces localement convexes 357 3.13 Le théorème de Hahn-Banach (forme analytique).............................357 3.14 Le théorème de Hahn-Banach (forme géométrique)..........................362 3.15 Topologies faibles...................................................................................370 3.16 Dualité des espaces de B an ach ............................................................ 374 3.17 Métrisabilité, compacité séquentielle...................................................382 3.18 Orthogonalité, transposition ............................................................... 387 iv TABLE DES MATIÈRES D Famille sommable 396 3.19 Série convergente et absolument convergente................................... 396 3.20 Famille sommable et absolument som m able...................................... 402 3.21 Famille de nombres ré e ls ......................................................................408 3.22 Sommation par paquets.........................................................................410 3.23 Produit in fin i.........................................................................................413 3.24 Espaces lp ...............................................................................................417 E Le théorème de Stone-Weierstrass 432 3.25 Le théorème de Stone-Weierstrass......................................................432 3.26 Les théorèmes d’approximation de Weierstrass ................................435 F Espaces de Hilbert 437 3.27 Espaces préhilbertiens .........................................................................437 3.28 Le théorème de projection ...................................................................442 3.29 Représentation du d u a l.........................................................................446 3.30 Somme hilbertienne...............................................................................450 3.31 Base hilbertienne.................................................................................. 452 G Opérateurs compacts 457 3.32 Définitions et propriétés élémentaires ................................................457 3.33 Analyse spectrale des opérateurs compacts......................................... 462 3.34 Opérateurs compacts normaux et hermitiens......................................467 3.35 Opérateurs de Hilbert-Schmidt............................................................ 476 H Corrigés des exercices 481 3.36 Exercices du chapitre 3.A ......................................................................481 3.37 Exercices du chapitre 3 .B ......................................................................497 3.38 Exercices du chapitre 3 .C ......................................................................506 3.39 Exercices du chapitre 3.D ......................................................................521 3.40 Exercices du chapitre 3 .E ......................................................................534 3.41 Exercices du chapitre 3.F ......................................................................535 3.42 Exercices du chapitre 3 .G ......................................................................543 Bibliographie 557 Notations 559 Index 563 Chapitre 1 THÉORIE DES ENSEM BLES Sommaire Ce chapitre expose la théorie axiomatique des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Le système d’axiomes de Zermelo-Fraenkel comprend habituellement les cinq axiomes énoncés au paragraphe 1, l’axiome de l’infini énoncé au paragraphe 7 et un schéma d’axiomes, appelé axiome de substitution, que nous n’avons pas énoncé, cet axiome n’étant pas utilisé dans la suite de cet ouvrage. Ce dernier axiome, qui implique l’axiome de compréhension (ZF2), est utile dans la théo rie des cardinaux par exemple : il permet de définir l’ensemble Card X (remarque 1.8.1 ), il permet la construction de très grands cardinaux, etc. Signalons par ailleurs que nous utiliserons l’axiome de choix énoncé au paragraphe 2 chaque fois que cela sera utile. Le lecteur qui souhaiterait en savoir plus sur l’axiomatisation de la théorie des ensembles pourra consulter le livre de A. Fraenkel, Y. Bar-Hillel et A. Levy [13] ; il y trouvera une analyse fort intéressante des divers systèmes d’axiomes proposés depuis Cantor. Le plan de ce chapitre est le suivant. La partie A expose les principales notions qui se définissent dans la théorie de Zermelo-Fraenkel, l’objectif essentiel étant de fixer une fois pour toutes les notations utilisées dans la suite de cet ouvrage. La partie B est consacrée à l’étude des ensembles ordonnés ; après avoir rappelé le vocabulaire utilisé dans ce domaine, on établit le lemme de Zorn (théorème 1.5.1). Il s’agit d’un théorème fondamental dont la démonstration est difficile, mais dont l’utilisation ne présente pas en général de difficultés. L’existence d’une base dans tout espace vectoriel ^ {0} (théorème 1.6.1) est une première application intéres sante de ce théorème. La partie C est consacrée à l’étude des propriétés les plus simples des ensembles infinis. Après avoir établi que la relation Card X < Card Y est une relation d’ordre total sur la collection des cardinaux, nous donnons les pro priétés constamment utilisées des ensembles dénombrables et des ensembles ayant la puissance du continu. Signalons enfin le théorème 1.9.9 dont la démonstration s’appuie sur le lemme de Zorn et qui permet de définir la dimension de tout espace vectoriel. A - Axiomes de la théorie des ensembles 1.1 Les axiomes de Zermelo-Fraenkel Ce chapitre est un exposé élémentaire de la théorie axiomatique des ensembles ; la construction d’une théorie mathématique, telle que la théorie des ensembles, s’effectue selon des règles très précises ; un exposé systématique de ces règles ne saurait trouver leur place ici, vu les objectifs de ce cours. Nous allons nous contenter de quelques remarques assez naïves. La construction d’une théorie mathématique T utilise des lettres et des signes. Les lettres représentent des objets ou des relations ; dans chaque théorie, les objets reçoivent des appellations particulières : par exemple, en théorie des ensembles les objets sont appelés ensembles, éléments, parties, applications, etc. Les signes comportent des signes logiques et des signes spécifiques à la théorie étudiée. Il y a trois signes logiques de base (non, ou, 3) et deux signes spécifiques à la théorie des ensembles (=, €). En écrivant les uns à la suite des autres des lettres et des signes, on construit des assemblages. Ces assemblages ne doivent pas être construits de façon quelconque ; on ne s’intéresse qu’aux assemblages qui, dans l’interprétation naïve de la théorie, représentent soit des objets, soit des relations. En d’autres termes, il faut décrire les constructions qui sont autorisées et il faut donner des règles permettant de reconnaître si un assemblage est un objet ou une relation. Ces règles ne sont que des règles de syntaxe, permettant de dire si ce que l’on écrit a, ou n’a pas, de sens ; vu nos objectifs, il ne nous semble pas utile d’expliciter ces règles, l’expérience et le bon sens étant en général suffisants. Considérons en particulier les signes logiques de base. Si A est une relation, (non A) est une relation qu’on appelle la négation de A. Si A et B sont des rela tions, (A ou B) est uploads/Management/ collection-me-thodes-mathe-matiques-licence-master-agre-gation-e-coles-d-x27-inge-nieurs-wagschal-claude-topologie-et-analyse-fonctionnelle-hermann-2012.pdf