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Filière : 3GC2 EMSI-RABAT (2019-2020) Matière : Analyse numérique Contrôle 1 (d

Filière : 3GC2 EMSI-RABAT (2019-2020) Matière : Analyse numérique Contrôle 1 (durée : 1h20min) Professeur : Mme BARKOUKI Houda Exercice 1 1. Soit le système linéaire suivant :    3x + y −z = 1, x −2y + 2z = m, x + y −z = 1, (1) Trouver la valeur m ∈R pour laquelle ce système admet une solution, après calculer la solution pour la valeur trouvée. 2. Soit e(k) = x(k) −x l'erreur entre la solution approchée à l'itération k et la solution exacte. Démontrer la relation entre e(k) et e(0). 3. Expliquer la diérence entre la méthode de Jacobi et la méthode de Gauss Seidel. Exercice 2 On considère le système linéaire suivant :        7x1 −x2 + x3 + 2x4 = 1, 5x2 −x3 + x4 = 1, x1 + 2x2 + 6x3 −x4 = 1 −x1 + x2 + 2x3 + 8x4 = 1, (2) 1. Donner une condition de convergence de la méthode de Jacobi. 2. Est ce que Jacobi converge pour le système linéaire ci-dessus ? Pourquoi ? 3. Donner l'algorithme de Jacobi. 4. Appliquer Jacobi pour calculer la solution de ce système pour les deux pre- mières itérations k = 1 et k = 2, tel que x(0) = [0, 0, 0, 0]. 5. Calculer la matrice d'itération M −1N pour la méthode de Jacobi. Exercice 3 On considère la fonction f dé nie par f(x) = 3cos(x) −10x. On se propose de séparer les racines de f en utilisant la méthode des approximations successives. 1. Trouver la fonction g tel que le problème f(x)=0 est équivalent au problème g(x)=x. 1 2. Monter que g admet un point xe unique s dans l'intervalle [0, π 6 ], et déduire que s est la racine unique de la fonction. 3. Soit ε la précision de la méthode, donner un test d'arrêt pour la méthode des approximations successives. 4. Calculer une solution approchée de s avec la précision 10−1. 2 uploads/Management/ controle-analyse-num-2019-g2.pdf