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1 Contrôle continu no 1 1ièr Semestre (durée 4h00) Partie Analyse : Exercice 1:

1 Contrôle continu no 1 1ièr Semestre (durée 4h00) Partie Analyse : Exercice 1: On considère la suite ( ) définie par : { ( ) 1) On considère la suite ( ) définie par ( ), démontrer que( ) est une suite géométrique. 2) En déduire l’expression de puis en fonction de pour tout 3) Déterminer la limite de ( ). Exercice 2: 4) Enoncer le théorème des accroissements finis. 1) A l’aide du théorème des accroissements finis, montrer que. Montrer , . / Exercice 3: On considéré la fonction numérique définie par : ( ) . / On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1) A l’aide du développement limité à l’ordre de la fonction ( ) au voisinage de , Écrire le développement limité à l’ordre 3 au voisinage de de la fonction . / 2) En utilisant un développement limité au voisinage de 0, montrer que f est prolongeable par continuité en . 3) Déduire de la question précédente une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0. 4) Préciser la concavité de la courbe par rapport à la tangente au point d’abscisse 0. 2 Partie Algèbre : Exercice 1 : 1) Soit une fonction et un intervalle de Donner les négations des assertions suivantes a) , ( ) b) ( ) (| | | ( ) ( )| ) 2) Montrer par récurrence sur l’assertion suivante : ( ) ( )( ) 3) Soit * + * + l’application définie par : ( ) a) Montrer que est bijective b) Déterminer la réciproque de . Exercice 2 : Etant donné une équation polynomiale du quatrième degré à coefficients réels. a) Combien de solutions imaginaires peut-elle avoir si l’une de ses racines réelle ? b) Si et sont deux solutions, quelles sont les autres solutions ? Exercice 3 : On considère les nombres complexes : et a) Placer les points , et d’affixes , et dans un repère orthonormé. b) Calculer les modules | | , | | et | |. c) Que peut-on déduire sur le triangle ? d) Déterminer l’affixe du milieu du segment , -. Exercice 4 : Soient et deux polynômes de , - définis par : ( ) . ( ) . 1. Calculer les dérivées ( ) ( ) ( ) 2. Montrer que 1 est un zéro de ( ) et déterminer son ordre de multiplicité. En déduire la factorisation de ( ) 3 3. Effectuer la division euclidienne de ( ) par ( ) 4. Décomposer en éléments simples dans la fraction rationnelle ( ) ( ) Exercice 5 : 4) Soit un polynôme de , - défini par : ( ) a) Montrer que est une racine de et déterminer son ordre de multiplicité. b) Décomposer le polynôme en produit de polynômes irréductibles dans , - puis dans , - 5) Soit , vérifier que et que On pose ( ) ( ) où ( ) est le polynôme ci-dessus. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle ( ) dans , - puis dans , - A rendre avant 15 h à l’email suivant : m.benyassi@umi.ac.ma benyassimohamed@yahoo.fr Fin de l’épreuve Bon Travail uploads/Management/ controle-continu-n-1-1.pdf