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Plan du Cours 0. Introduction 1. Rappel sur les équations différentielles Equat

Plan du Cours 0. Introduction 1. Rappel sur les équations différentielles Equation différentielle ordinaire Deux équations différentielles ordinaires 2. Système dynamique et Modèle d’Etat Système Mécanique Système électrique Système à compartiment Système Informatique Système réactionnel 3. Application Introduction Le présent cours de Modélisation et analyse des systèmes donné aux étudiants finalistes en informatique d’avoir des atouts nécessaires pour juger les différents systèmes, détecter des problèmes dans les systèmes et comparer les différents systèmes à partir de leur représentation ou leur modèles. Ce qui permettra à ceux derniers d’être au centre de la stabilisation et l’équilibre des différents domaines soit dynamique soit embarqué soient discret et continu. Concepts de base Dans le cadre de modélisation et l’analyse, le but principal est de reproduire, ou de représenter, le fonctionnement de divers processus, par exemple physiques, chimiques,. . . , d’industries, de chaînes de production, etc. Dans ce cours, nous emploierons les termes décrits ci-dessous. Système : Le processus d’intérêt sera généralement un système, qui peut être défini, en suivant Schmidt et Taylor comme une collection d’entités, par exemple des hommes et/ou des machines, qui agissent et interagissent afin d’accomplir un certaine fin logique. L’état d’un système est la collection de variables nécessaires pour décrire un système à un instant particulier. Modèle Un modèle, qui est une description simplifiée d’un système, dans le but de d’évaluer (scientifiquement) sa performance ou l’effet de certaines décisions. Un modèle peut être physique (version à l’échelle du système : maquette,. . . ) ou mathématique (abstraction – simplifiée – sous forme mathématique). En bref, le modèle est simplement l’obtention des équations dans diverses applications des sciences d’ingénierie. Simulation La simulation, qui consiste à faire évoluer le modèle d’un système en fournissant les entrées appropriées, puis à observer et analyser les résultats. Analyse la détermination des propriétés principales des systèmes, déduites des équations ou modèles. Nous pouvons distinguer deux types de systèmes : discrets et continus. Un système discret est un système dans lequel les variables d’état changent instantanément à des points séparés du temps. Un système continu est un système dans lequel les variables d’états changent continûment par rapport au temps. Généralement, un système n’est généralement ni totalement discret, ni totalement continu, bien qu’en pratique un type de comportement prévaut souvent. La simulation permet donc d’expérimenter avec un système sans payer le véritable prix de nos erreurs. Ses avantages peuvent être résumés comme suit : – la simulation est non destructrice, et les erreurs ne sont pas (trop) coûteuses ; – le système considéré n’a même pas besoin d’exister ; – nous pouvons répéter à volonté des expériences identiques ou similaires dans les mêmes conditions ; – nous pouvons souvent simuler un système beaucoup plus rapidement que son évolution dans la réalité, comme par exemple l’évolution d’un biosystème ou la formation du système solaire ; – nous pouvons simuler des modèles très complexes, plus réalistes que ceux que l’on peut résoudre par des formules analytiques ou par les méthodes d’optimisation classique. – l’animation graphique peut permettre de voir évoluer le modèle. Elle n’est cependant pas sans inconvénients : – coût : la modélisation et la programmation peuvent demander beaucoup d’effort de temps et d’argent ; – les temps d’exécution (CPU) peuvent devenir excessifs ; – elle ne fournit habituellement que des estimations ; l’optimisation est beaucoup plus difficile par simulation que via les outils habituels de programmation mathématique ; – l’analyse statistique des résultats n’est pas toujours simple. Construire un modèle dépend du système que nous souhaitons étudier, et les différentes possibilités qui s’offrent sont résumées dans la Figure 1.1. Nous nous intéresserons ici en particulier aux modèles mathématiques, qui peuvent eux- mêmes être de différentes natures. Modèle analytique Un modèle analytique est un modèle qui peut être décrit au moyen d’une formule mathématique. Une telle formule est généralement difficile à mettre au point, mais elle est facile à utiliser. Un exemple bien connu en théorie des files d’attente est la formule de Little (cfr cours de RO). Fig. 1.1 – Types de modèles Méthodes numériques : itératives et/ou approximatives. Ex., programmation dynamique, systèmes linéaires pour grosses chaînes de Markov, méthodes éléments finis pour équations différentielles. Méthodes stochastiques : implique de l’incertitude. Outils de base : probabilités et statistique. Un modèle de simulation sera habituellement plus détaillé et réaliste qu’un modèle analytique. Par contre, une formule analytique peut donner une meilleure intuition des principales propriétés du système et sera moins coûteuse à utiliser. D’autres distinctions peuvent être opérées. Ainsi, un modèle statique est la représentation d’un système à un moment donné. Des exemples de modèles de simulation statiques sont certains modèle Monte Carlo. A l’opposé, un modèle de simulation dynamique représente un système qui évolue au cours du temps. Un modèle pourra également être stochastique ou déterministe, et, à l’instar des systèmes, discrets ou continus. La décision d’utiliser un modèle discret ou continu dépend avant tout des objectifs de l’étude. Ainsi, un modèle discret pourra être utilisé pour représenter un modèle continu et vice-versa. Nous nous concentrerons ici sur les modèles d’analyse de système dynamique et embarqué. Ces modèles seront étudiés avec plus de détail au Chapitre 2 et 3. I. Rappel sur les équations différentielles I.1. GENERALITE I.1.1. Quelques définitions 1) Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction. Exemple : 2) On appelle équation différentielle, une équation fonctionnelle qui établit une relation entre une variable indépendante x, une fonction inconnue y=y(x) et une ou plusieurs dérivées de cette fonction. C’est donc une équation qui lie une fonction inconnue, ses dérivées 1ère , seconde, …, d’ordre n, … à la variable indépendante. Forme générale : Mise sous la forme normale, elle s’écrit : (i) 3) Une équation différentielle est dit ordinaire (EDO) si la fonction inconnue y ne dépend que d’une seule variable indépendante x. 4) L’ordre d’une équation différentielle est l’ordre de la dérivée la plus élévée qui figure dans l’équation. 5) Le degré d’une équation différentielle est la puissance la plus élevée de la dérivée d’ordre le plus élevé qui figure dans l’équation. 6) Soit I Ϲ R, I un intervalle non vide. Une fonction φ : I → R est appelée solution ou intégrale sur I de l’équation (i) si φ est n fois différentiable et si en tout point x de I, on a : 7) Résoudre une équation différentielle, c’est chercher la solution générale de cette équation. 8) La solution générale de l’équation différentielle est celle qui contient 1, 2, …, n constantes arbitraires suivant qu’elle renferme une dérivée 1ère, 2ème, …, nième de la solution inconnue. Donc la solution générale contient le nombre maximal (=n) de constantes arbitraires. 9) Une solution particulière de l’équation différentielle s’obtient en donnant des valeurs particulières aux constantes ; c’est donc qui satisfait à une ou des conditions initiales imposées. 10) Une solution singulière est celle qui ne découle pas de la solution générale par un choix particulier des constantes arbitraires. I.1.2. Exemples 1) : ordre 2, degré 1 2) : ordre 1, degré 1 3) : ordre 3, degré 1 4) : ordre 1, degré 1 5) : ordre 2, degré 1 6) : ordre 3, degré 2 I.1.3. Problèmes 1) Une particule se meut en ligne droite telle que sa vitesse au temps t soit égale à 2t. R) Soit f(t) la fonction de position de la particule. On a : , donc C’est l’équation différentielle du mouvement de la particule. t=la variable indépendante f(t)= la fonction inconnue On a : (S.G) Si l’on impose au mouvement une condition supplémentaire, par exemple une position initiale , alors on a : Donc est une solution particulière correspondant à de l’équation différentielle. 2) On donne l’équation différentielle On peut montrer que en est solution générale. En effet, on a : Et en remplaçant, on obtient : Est une solution singulière. En effet, elle ne découle pas de la solution générale et on a : Donc y= x² vérifie bien l’équation différentielle donnée interprétation graphique y= x² représente l’enveloppe de la famille des droites représentées par la solution générale. Chaque droite de la famille est tangente à la parabole et réciproquement, la parabole est tangente en chacun de ses points à une droite de la famille solution générale. On appelle arc intégral ou courbe intégrale, le graphe ( C) d’une solution quelconque. Le problème qui consiste à déterminer l’ensemble des solutions d’une équation différentielle est appelé l’intégration ou la résolution de cette équation. Si une équation différentielle possède une solution, soit y = φ1(x), x∈ I, elle en admet une infinité. En effet, si I’ est un sous-ensemble non vide de I, alors la restriction φ2 de φ1 à I’ est aussi solution de l’équation différentielle. On dira que φ2 est contenue dans φ1 est on note : φ2 Ϲφ1 . La relation « Ϲ » ainsi définie sur l’ensemble ζ des solutions de l’équation différentielle est une relation d’ordre. Lorsque I’≠I, φ1 est dit un prolongement de φ2 Restriction ↔Prolongement φ1 est restriction de φ2 à I’≡ φ1 est le prolongement de uploads/Management/ cours-analyse-et-conception-des-systeme-l2-genie.pdf