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1ère Année Module M4 : Analyse 05/05/2004 L. AYGON IUT GEA de Montpellier 1/23

1ère Année Module M4 : Analyse 05/05/2004 L. AYGON IUT GEA de Montpellier 1/23 Descripteurs Intentions pédagogiques : Objectif • Améliorer ses connaissances à partir des acquis antérieurs : Niveau BAC STT requis. • Montrer que les mathématiques représentent un ensemble d’outils nécessaires à la résolution de problèmes économiques et de gestion. Contenu • Notions d’analyse : o Equations du second degré o Fonctions usuelles (dont puissances, exponentielles, logarithmes) d’une variable : continuité, dérivées, extremums, limites, élasticité, valeur marginale. o Introduction à la notion de fonction de deux variables (dérivées, extremums, TMS) o Notions d’intégrales Méthode d’enseignement : 1. Exposition académique/universitaire Type de connaissances : 1. Connaissances déclaratives Niveau d’acquisition : Approche pédagogique 2. « j’ai compris » Approche professionnelle 1. Concepts 1ère Année Module M4 : Analyse 05/05/2004 L. AYGON IUT GEA de Montpellier 2/23 Sommaire 1 Introduction _________________________________________________________________________ 3 2 Rappels _____________________________________________________________________________ 4 2.1 Factorisation et développement _____________________________________________________ 4 2.2 Identités remarquables ____________________________________________________________ 4 2.3 Puissances_______________________________________________________________________ 4 2.4 Equations du premier degré ________________________________________________________ 4 2.5 Equations du second degré _________________________________________________________ 5 2.6 Factorisation et signe du trinôme____________________________________________________ 5 2.7 Etude graphique d’une équation du second degré ______________________________________ 6 3 Etude de fonctions d’une variable réelle___________________________________________________ 8 3.1 Sens de variation _________________________________________________________________ 8 3.1.1 Fonctions croissantes et décroissantes______________________________________________ 8 3.1.2 Taux d’accroissement __________________________________________________________ 9 3.2 Dérivée d’une fonction ___________________________________________________________ 10 3.2.1 Définition___________________________________________________________________ 10 3.2.2 Tableau des dérivées des fonctions classiques_______________________________________ 11 3.2.3 Règle de calculs des dérivées ___________________________________________________ 11 3.3 Dérivée et allure graphique________________________________________________________ 11 3.4 Limites et asymptotes ____________________________________________________________ 12 3.5 Continuité______________________________________________________________________ 13 4 Les fonctions logarithme et exponentielle _________________________________________________ 15 4.1 La fonction logarithme ___________________________________________________________ 15 4.1.1 Définition___________________________________________________________________ 15 4.1.2 Dérivée logarithmique _________________________________________________________ 15 4.1.3 Elasticité ___________________________________________________________________ 15 4.1.4 Propriétés remarquables________________________________________________________ 16 4.1.5 Courbe représentative de ln _____________________________________________________ 16 4.1.6 Fonction logarithme de base a. __________________________________________________ 16 4.2 La fonction exponentielle _________________________________________________________ 17 4.2.1 Fonction inverse de la fonction lnx _______________________________________________ 17 4.2.2 Propriétés remarquables et courbe représentative ____________________________________ 18 5 Notion d’intégrale____________________________________________________________________ 19 5.1 Primitives ______________________________________________________________________ 19 5.2 Intégrale et traduction graphique __________________________________________________ 20 5.3 Calcul approché d’intégrale _______________________________________________________ 20 6 Fonctions de plusieurs variables ________________________________________________________ 21 6.1 Notions de base _________________________________________________________________ 21 6.2 Recherche d’extremums __________________________________________________________ 22 6.3 Taux marginal de substitution _____________________________________________________ 22 Bibliographie ___________________________________________________________________________ 23 1ère Année Module M4 : Analyse 05/05/2004 L. AYGON IUT GEA de Montpellier 3/23 1 Introduction L’application des techniques mathématiques à l’analyse économique ne date pas d’aujourd’hui. La première civilisation ancienne qui nous a laissé quelques traces de connaissances mathématiques concerne les babyloniens (Mésopotamie vers -5000 avant J.-C.). Mis en évidence par des tablettes d’argile retrouvées lors de fouilles, leur savoir mathématique est utilisé pour les échanges de monnaie et de marchandises, les problèmes de calcul d’intérêt, les calculs de taxe et la répartition des récoltes. La représentation mathématique permet d’abréger et de simplifier la description des phénomènes économiques pour aboutir à des conclusions plus compréhensibles que le raisonnement verbal. Ainsi, on tente parfois de mathématiser des grandeurs que l’on peut difficilement quantifier comme l’utilité d’un bien ou le niveau de vie. Par exemple, l’IDH (indice de développement humain) tente de quantifier la qualité de vie à travers l’espérance de vie, le niveau d’instruction et le revenu. Il a permis de mettre en évidence les disparités entre les pays sous un nouveau jour. Notre objectif est de fournir aux étudiants un bagage mathématique minimum permettant de mieux comprendre l’économie théorique moderne parsemée de symboles et formules mathématiques. 1ère Année Module M4 : Analyse 05/05/2004 L. AYGON IUT GEA de Montpellier 4/23 2 Rappels 2.1 Factorisation et développement Exemple : Pour obtenir le prix TTC du prix HT on écrit : TTC HT HT TVA HT TVA P =P +P ×T =P (1+T ) : PHT est mis en facteur. Cette formule permet de trouver le prix HT à partir du prix TTC : TTC HT TVA P P =1+T En langage mathématique : Développement (on distribue a) a (x+y) = ax + ay Factorisation (on met a en facteur) 2.2 Identités remarquables Il y a trois identités remarquables : (a b)² a² 2ab b² (a b)² a² 2ab b² (a b)(a b) a² b² + = + + − = − + + − = − Remarque : De ces identités remarquables, on en déduit : (a b)² a b a² 2ab b² a² b² + = + = + + ≠ + 2.3 Puissances Exemple : On place 1000 € sur un PEL rétribué à 3,5 % l’année. Au bout d’un an, on a : INTERET 3,5 1000 € + les intérêts = 1000 + 1000 =1000 (1+ 0,035)=1000 1,035=1035 € 100 × × × Au bout de deux ans, an aura 2 INTERET 3,5 1035 € + les intérêts = 1035 + 1035 =1035 1,035=1000 1,035 1071 € 100 × × × ≈ Au bout de 5 ans, on aura 5 10000 (1,035) 1188 €. × ≈ Puissances : On a pour n entier strictement positif n n fois a a a ..... a a = × × × × avec par convention pour a ≠0 : a0=1. Règles de calcul : a0=1 -n n 1 a = a am + n = am.an (a.b)n = an.bn (am)n = amn Remarque : La racine peut être exprimée sous la forme d’une puissance. 1 2 a=a avec a 0 ≥ ainsi 2 1 1 2 2 1 2 2 a a a a a ×   = = = =     2.4 Equations du premier degré Exemple: Dans un importateur de lecteur DVD, le prix est relié à la quantité achetée par P=-0,01×Q+127 . En effet, pour une quantité importante, le prix unitaire est plus faible (ristourne). On désire obtenir un prix de 100 €. Quelle quantité doit-on acheter ? 100=-0,01 Q+127 100-127=-0,01 Q 27 Q 2700 0,01 × ⇔ × − ⇔ = = − On parle d’une équation du premier degré en Q : Q est la variable qu’il faut trouver. 1ère Année Module M4 : Analyse 05/05/2004 L. AYGON IUT GEA de Montpellier 5/23 Règles de calcul : -b a x + b = 0 x = avec a 0 a ⇔ ≠ 2.5 Equations du second degré Exemple : Une entreprise de chaussures produit un bien dont le coût de fabrication est lié à la quantité Q produite en milliers par la relation : F = Q²+2Q+5 milliers d’€. Les 5 milliers d’€ représentent les coûts fixes et Q²+2Q les frais variables (dépendant du volume de production). Elle écoule sa production au prix P=10-Q milliers d’€ par milliers de chaussure. Pour quel niveau de production, l’entreprise réalise t-elle un bénéfice nul ? Q²+2Q+5=Q(10-Q) 2Q²-8Q+5=0 ⇔ Cette expression est une équation du second degré en Q : Q est la variable. Plus généralement, une équation du 2nd degré est de la forme ax²+bx+c=0 avec a 0 ≠ . Principe de résolution : On calcule le discriminant 2 4 b ac ∆= − . 1 2 >0 alors l'équation possède deux solutions : x 0 alors l'équation possède une solution dite "double" : x 0 alors l'équation ne possède pas de solution réelle. b b Si et x 2a 2a b Si 2a Si −+ ∆ −− ∆ ∆ = = − ∆= = ∆< Suite exemple : On devait résoudre Q²+2Q+5=Q(10-Q) 2Q²-8Q+5=0 ⇔ 8² 4 2 5 24 (2 6)² 0 ∆= −× × = = > donc on a deux racines (valeurs pour lesquelles le bénéfice est nul) : 8 2 6 3 Q 2 4 2 ± = = ± 2.6 Factorisation et signe du trinôme Remarque : On appelle racine toute valeur annulant le polynôme. Ainsi 2 est une racine du polynôme 3 x 2x 4 − − car 3 2 2 2 4 0 −× − = Théorème : Un polynôme est toujours factorisable par l’une de ses racines. De ce théorème, on en déduit la factorisation de ax²+bx+c=0 suivante : 1 2 1 2 > 0 : 2 solutions x et x donc ax²+bx+c=a(x-x 0 : l'équation possède une solution double ax²+bx+c=a(x+ 0 : l'équation ne possède pas de solution réelle donc ax² Si ∆ )(x-x ) -b b Si ∆ = donc )² 2a 2a Si ∆< +bx+c n'est pas factorisable dans . On peut aussi en déduire le signe du trinôme . Règle : ax²+bx+c est du signe de a sauf entre ses racines. Si >0 ∆ x -∞ x1 x2 +∞ Signe de ax²+bx+c Signe de a 0 Signe de de –a 0 Signe de a Si 0 ∆< x -∞ +∞ Signe de ax²+bx+c Signe de a 1ère Année Module M4 : Analyse 05/05/2004 L. AYGON IUT GEA de Montpellier 6/23 Suite exemple : Si on désire savoir pour quelle quantité de chaussures, on a un bénéfice. On doit résoudre Q²+2Q+5<Q(10-Q) 2Q²-8Q+5<0 ⇔ On a deux racines 3 2 2 Q = ± . Donc 3 3 2Q²-8Q+5<0 " a=2 est positif donc 2Q²-8Q+5 est négatif entre les racines " Q uploads/Management/ cours-de-math-complet.pdf