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REPUBLIQUE TUSIENNE MINISTRE DE L’EDUCATION DE LA FORMATION Lycée Ali Bourguiba

REPUBLIQUE TUSIENNE MINISTRE DE L’EDUCATION DE LA FORMATION Lycée Ali Bourguiba Bembla Site : www.matheleve.net Mr : Chortani Atef DEVOIR DE CONTROLE N°03 SECTION : SCIENCES EXPERIMENTALES EPREUVE : MATHEMATIQUES DUREE : 2 h COEFFICIENT : 3 Exercice 1 (6 points) On a représenté ci-dessous dans un repère orthonormé (O , ⃗ i , ⃗ j) la courbe (C ) d’une fonction f solution de l'équation différentielle (E): y '+ y=e −x et sa tangente au point d’abscisse (−1) -La courbe(C ) admet une branche parabolique de direction (O , ⃗ j) au voisinage de −∞ -L’axes des abscisses est une asymptote à la courbe (C ) 1) Par lecture graphique déterminer a)f (0 )et f ' (−1) b¿ lim x→+∞f (x), lim x→−∞f (x)et lim x →−∞ f (x) x 2) a)Montrer que f ' (0)=−1 b) En déduire une équation de la tangente à (C ) point d’abscisse 0 3) a)Montrer que f (−1)=e b) Calculer l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C) l’axe des abscisses et les droites d’équations x=−1et x=0 4)a)Montrer que la fonction u (x )=x e −x est une solution de(E). b) Résoudre l'équation différentielle (E0): y '+ y=0 c)Montrer qu'une fonction g dérivable sur IR est solution de (E) si et seulement si g−u est solution de (E0). En déduire toutes les solutions de(E). d) Déterminer alors la fonction f Exercice 2 (7points) Partie A Soit φ la fonction définie sur ℝpar φ (x )=e x+ x+1. 1) Etudier le sens de variation de φ 2) Montrer que l’équation φ (x )=0 admet dans ℝ une solution unique α ∈ [−1,28 ; −1,27] 3) Etudier le signe de φ (x ) sur ℝ. Partie B Soit f la fonction définie sur R par f (x )= x e x e x+1 et (C)sa courbereprésentative dans≤plan munid ’unrepère orthonormal (O , ⃗ i , ⃗ j) (unité graphique 1 cm pour l’axe des abscisses et 2 cm pour l’axe des ordonnées). 1¿a¿Calculer lim x →−∞f (x ).Interpréter≤résultat b¿ Montrer que lim x →+∞f (x)=+∞ c)Montrer que f (α)=α+1 et en déduire un encadrement de f (α) 2¿a¿ Montrerque pourtout réel x ,f ' (x )= e xφ (x ) (ex+1) 2 b)En déduire le tableau de variation de f . 3) a)Donner une équation de la tangente T à (C) au point d’abscisse 0 b) Etudier la position de (C) par rapport à T. 4) Démontrer que la droite D d’équation y=x est asymptote à(C) et étudier la position de (C) par rapport à D. 5) Tracer sur un même graphique les droites T, D et la courbe (C). Exercice 3 (7 points) Une étude statistique indique que 95 % des téléviseurs fabriqués par une entreprise sont en état de fonctionnement. On fait subir à chaque appareil un test de contrôle. On constate que : Un appareil est accepté dans 91,6 % des cas à l'issue du test ; Quand un appareil est en état de fonctionnement, il est accepté dans 96 % des cas à l'issue du test. Quand un appareil n’est pas en état de fonctionnement, il peut être accepté On choisit au hasard un téléviseur fabriqué par l'entreprise. On définit les événements suivants : *F : « le téléviseur est en état de fonctionnement » ; *T : « le téléviseur est accepté à l'issue du test » ; 1) Déterminer les probabilités suivantes p(F) , p(T) et p(T/F) 2) Calculer la probabilité que le téléviseur ne soit pas en état de fonctionnement. 3)a) Calculer la probabilité qu’un téléviseur soit refusé à l'issue du test sachant qu’il est en état de fonctionnement . b) Calculer la probabilité que le téléviseur soit refusé à l'issue du test et qu’il soit en état de fonctionnement 4)a)Montrer que la probabilité que le téléviseur accepté à l'issue du test et qu’il ne soit pas en état de fonctionnement est p(T∩´ F) =0,004 b) En déduire la probabilité que le téléviseur accepté à l'issue du test sachant qu’il n’est pas en état de fonctionnement. 5) Quelle est la probabilité pour qu’un téléviseur soit en état de fonctionnement sachant qu’il est refusé à l'issue du test ? 6)a)Un électroménager passe une commende de 3 télévisions Calculer la probabilité que 1 télévision dans cette commande ne soit pas en état de fonctionnement. b) L’électroménager exige que sur une commande de n televisions la probabilité d’avoir au moins une télévision n’est pas en état de fonctionnement reste inferieur 40 % déterminer le nombre maximum de television que l’on peut commander. uploads/Management/ devoir-de-controle-n-03-2011-2012mr-chortani-atef 1 .pdf