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Prof/ATMANI NAJIB 1 Exercices de rappels d’applications et de réflexions sur L’

Prof/ATMANI NAJIB 1 Exercices de rappels d’applications et de réflexions sur L’ARITHMETIQUE PROF : ATMANI NAJIB 2ème BAC Sciences maths Exercice1 : 1) Déterminer et dénombrer les diviseurs naturels de 156 12)Déterminer dans tous les diviseurs de -8 Solution :1) 156 a 12 diviseurs : 1; 2; 3; 4; 6; 12; 13; 26; 39; 52; 78 et 156. 156 et 1 sont appelés diviseurs triviaux, les autres sont des diviseurs stricts. 2) 8 D = {−8, −4, −2, −1, 1,2,4,8} Exercice2 : 1) a et b et c et x et y  a) montrer que si 2 a b c et a b c  alors a c b) montrer que si 2 3 a b c  et a b c  alors a c c) montrer que si a x y et a b c  alors a xb cy  2) a et n et 12 1 a n  et 2 3 a n   Montrer que 19 a 3) d  et a et 2 3 d n  et 2 1 d n  Montrer que 13 d Solution : 1) a)    2 2 2 a b c a a c b c b c a b c            1) b)   2 3 2 3 2 a b c a a c b c b c ab c             1) c) a x y a a a et bx by by cy bx cy ab c             2) 12 1 a n  et 2 3 a n   12 1 12 18 19 a a a et n n        1; 19 a    3) d  et a et 2 3 d n  et 2 1 d n    2 2 2 2 1 ² 3 4 12 4 4 1 d a d d et et n n n n n        11 4 2 4 13 d d d et n n     Exercice3 : a et x Montrer que : 5 7 29 2 3 a x a a x         Solution :     5 7 2 5 7 5 2 3 2 3 a x a x x a x            10 14 10 15 29 29 a a a x x       Exercice4 : Soient ܽ� = 2� + 1 et ܾ� = 5� + 4 1- Montrer que tout diviseur commun de ܽ� et ܾ� divise 3. 2- Déterminer tous les diviseurs communs de ܽ� et ܾ� Exercice5 : Montrer que : n  : 3 divise 4 1 n  Solution : Montrons que : n  / 4 1 3 n k k   1étapes : l’initialisation :Pour n=0 nous avons 0 4 1 0  est un multiple de 3 Donc P (0) est vraie. 2étapes : d’hérédité : Supposons que P(n) soit vraie c’est-à-dire : / 4 1 3 n k k   donc 4 3 1 n k   3étapes : Nous allons montrer que P(n+1) est vraie. Montrons alors que : 1 / 4 1 3 n k k       ?? 1 4 1 4 4 1 n n       4 3 1 1 12 4 1 12 3 3 4 1 k k k k       avec 4 1 k k  Donc P(n+1) est vraie. Conclusion. Par le principe de récurrence on a : ;4 1 n n   est divisible par 9 Exercice6 : Quelles sont les valeurs de l’entier relatif n pour lesquelles : 2 3 1 n n   Solution : 2 3 1 n n   et 2 2 n n   2 3 1 n n  et 2 3 6 n n  donc    2 3 6 3 1 n n n     donc 2 5 n  Les diviseurs de 5 sont 1 ; -1 ; 5 ; -5 donc Il faut que   2 1; 5;1;5 n  ce qui entraine que   3; 7; 1;3 n  TD : d’ARITHMETIQUE : Exercices de rappels avec corrections Prof/ATMANI NAJIB 2 On vérifie que que que si   3; 7; 1;3 n  alors 2 3 1 n n   avant de conclure. Conclusion : les valeurs de l’entier relatif n pour lesquelles : 2 3 1 n n   sont : -7 ; -3 ;-1 ;3 Exercice7 : Quelles sont les valeurs de l’entier relatif n pour lesquelles la fraction 3 8 4 n n   Représente un entier relatif ? Solution :Cette fraction a un sens si : 4 0 n  soit 4 n  On constate que   3 8 3 4 4 n n     4 n divise   3 4 n  , donc 4 n divise 3 8 n si 4 n divise -4. Les diviseurs de -4 sont 1 ; -1 ; 2 ; -2 ; 4 ; -4. Il faut que   4 4; 2; 1;1;2;4 n    ce qui entraine que   8; 6; 5; 3; 2;0 n    On vérifie que -4 n’appartient pas à -8 ; -6 ; -5 ; -3 ; -2 ; 0 avant de conclure. Conclusion : la fraction 3 8 4 n n   représente un entier relatif pour les valeurs de l’entier relatif n : -8 ; -6 ;-5 ; -3 ; -2 ; 0. Exercice8 : Résoudre dans 2 les équations suivantes :a) 2 2 32 x y   avec x y b) 2 2 99 xy x y    Solution :a)    2 2 32 32 x y x y x y       x y  et x y  sont des diviseurs positif de 32 Et    2 x y x y x     est u nombre pair Donc x y  et x y  ont la même parité 5 32 2  On dresse un tableau : x y  2 4 x y  16 8 x 9 6 y 7 2      6;2 ; 9;7 S  b) 2 2 99 2 2 1 1 99 xy x y xy y x             2 1 2 1 99 1 2 1 1 100 y x x x y         Donc : 2 1 x et 1 y  sont des diviseurs positif de 100 :   100 1;2;4;5;10;20;25;50;100 D  2 1 x 1 2 4 5 20 25 50 100 1 y  100 50 25 20 5 4 2 1 x 0 2 12 y 99 10 3       0;99 ; 2;19 ; 12;3 S  Exercice9 :déterminer le nombre entier naturel n Tel que le quotient de la division euclidienne de n par 25 est p et le reste est 2 p   p Solution: n : 2 25 n p p   et 0 ² 25 p  donc 0 5 p  Donc : 0 1 2 3 4 0 26 54 84 116 p p p p p ou ou ou ou n n n n n                          Donc :   0;26;54;84;116 n Exercice 10: n et a et b des entiers naturels Démontrer que si q est le quotient de la division euclidienne de n par a et qest le quotient de q par b Alors q est aussi le quotient de n parab Solution: soit r le reste de la division euclidienne de n par a et r le reste de la division euclidienne de q par b on a donc : n aq r   et 0 1 r a   et on a : q bq r     et 0 1 r b    donc on déduit que :   n a bq r r abq ar r           Et puisque : 0 1 r b    uploads/Management/ exercice-corrige-arithmetique.pdf