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Exercices d’interrogations orales en MPSI Alexandre Popier 28 janvier 2005 TABL

Exercices d’interrogations orales en MPSI Alexandre Popier 28 janvier 2005 TABLE DES MATIÈRES 1 Table des matières 1 Analyse 3 1.1 Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Ensembles usuels de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7 Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.8 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.9 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.10 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.11 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.12 Formules de Taylor, fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.13 Intégration sur un intervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.14 Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.15 Equations diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.16 Calcul diﬀérentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.17 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2 Algèbre 68 2.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2 Anneaux, corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.4 Espaces vectoriels de dimension ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.6 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.7 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.8 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.9 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.10 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.11 Espaces vectoriels euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.12 Arithmétique de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.13 Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 TABLE DES MATIÈRES 2 3 Géométrie 119 3.1 Géométrie du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.2 Géométrie de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.3 Courbes planes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.4 Courbes en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.5 Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 CHAPITRE 1. ANALYSE 3 Chapitre 1 Analyse 1.1 Ensembles et applications Exercice 1.1.1 Soit f : E →F. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. f est surjective; 2. ∀y ∈F, f(f −1({y})) = {y}; 3. ∀Y ⊂F,f(f −1(Y )) = Y ; 4. le seul Y ⊂F tel que f −1(Y ) = ∅est ∅. Solution. (2) et (3) sont équivalentes car f et f −1 commutent avec la réunion. De plus, f −1(y) ̸= ∅⇔y ∈f(E). Et toutes les autres équivalences en découlent. □ Exercice 1.1.2 Soient E un ensemble et p : E →E une application telle que p ◦p = p. Montrer que si p est injective ou surjective, alors p = IdE. Soient E un ensemble et f : E →E une application telle que f ◦f ◦f = f. Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective. Solution. Si p injective, de p(p(x)) = p(x), on obtient p(x) = x. Si p est surjective, pour x ∈E, il existe t ∈E tq x = p(t) = p(p(t)) = p(x). Si f est injective, f((f ◦f)(x)) = f(x) implique f ◦f = IdE, donc bijective. Si f est surjective, pour x ∈E, il existe t ∈E tq x = f(t) d’où (f◦f)(x) = f((f◦f)(t)) = f(t) = x. □ Exercice 1.1.3 Soient E, F, G trois ensembles tels que E ̸= ∅, f : F →G une applica- tion. Montrer que f est injective si et uploads/Management/ exercices-dinterrogations-orales-en-mpsi.pdf