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54 Les calculs au CM1 Les différents types de calcul ■Le calcul mental Activité

54 Les calculs au CM1 Les différents types de calcul ■Le calcul mental Activité primordiale, mise en avant par les programmes, le calcul mental est une activité quotidienne. Il est important d’articuler deux types d’activités complémentaires : ● Le calcul mental en séance rapide est réalisé princi- palement à l’oral. Il s’appuie sur des questions/réponses et peut être réalisé sur ardoise. Ce type de séance peut reposer également sur des jeux, rallyes, défis. ● Le calcul mental en séance plus longue permet d’expli- citer les procédures et d’identifier les plus efficaces au regard des nombres mis en jeu. Les stratégies de calcul doivent être suffisamment entrainées pour tendre le plus possible vers l’automa- tisme. Ces stratégies s’appuient sur la connaissance des faits numériques (les tables et les relations usuelles) et des techniques de calcul. La maitrise suffisante de ces techniques permet également de vérifier la vraisem- blance des résultats obtenus par d’autres moyens. ■Le calcul en ligne Les programmes 2016 insistent particulièrement sur le calcul en ligne. En effet, c’est bien le moyen rapide de trouver un résultat pour de nombreuses situations, lorsque le calcul posé n’est pas indispensable. Il s’appuie essentiellement sur les techniques apprises en calcul mental et en interaction avec sa pratique. Il permet une meilleure visualisation des procédures. Ce recours au support visuel évite également une charge cognitive importante. Comme le calcul mental, le calcul en ligne permet de donner du sens aux nombres et, plus largement, de construire la numération décimale. ■Le calcul posé Le calcul posé est utilisé comme moyen pour déter- miner un résultat lorsque le calcul mental ou en ligne est inopérant ou engage une charge cognitive importante. ■Le calcul instrumenté On peut utiliser la calculatrice ou le tableur comme : instrument dont on cherche à comprendre certaines fonctionnalités ; outil de calcul ; support à l’exploration de phénomènes numériques ; source de problèmes et d’exercices. L’utilisation de la calculatrice, complétée par celle du tableur, doit donc être raisonnée et anticipée : une réflexion avec les élèves sur l’opportunité d’utiliser tel ou tel moyen de calcul (choix entre calcul mental et calcul avec la calculatrice) doit être source de débat dans la classe. En aucun cas la calculatrice ne devra se substituer à la capacité des élèves à appliquer les stratégies de calcul en ligne et de calcul posé, ou à vérifier la vraisem- blance d’un résultat en passant toujours par exemple par le calcul d’un ordre de grandeur. Les opérations ■L’addition et la soustraction Même si l’addition et la soustraction des nombres entiers ont été introduites et pratiquées en classe de cycle 2, leur sens et leur technique doivent être réactivés et approfondis pour aborder les nombres décimaux. D’une manière générale, les algorithmes des techniques opératoires doivent être automatisés et appliqués rigoureusement. Pour l’addition, il est important de bien placer les retenues au-dessus du nombre correspondant à la valeur de la retenue. Pour la soustraction avec retenue, deux techniques sont souvent présentes dans les classes : ● la méthode anglo-saxonne, dite méthode de l’emprunt à la dizaine supérieure. Ex. : 8 pour aller à 7, ce n'est pas possible. On prend une dizaine à 67 et on l'échange contre 10 unités. 8 pour aller à 17 ➔ 9 3 pour aller à 5 ➔ 2 Cette technique est facile à expliquer. Néanmoins, les ratures successives rendent la lecture difficile. ● la méthode sociale : cette technique repose sur la propriété des écarts constants : a – b = (a + c) – (b + c). L’écart ne change pas si on ajoute la même quantité à chacun des termes. Ex. : 8 pour aller à 7, ce n'est pas possible. On ajoute 10 à 7 et une dizaine à 3. 8 pour aller à 17 ➔ 9 3 + 1 = 4 4 pour aller à 6 ➔ 2 Nous avons choisi de présenter uniquement la méthode sociale. Pour les nombres décimaux, il faut bien veiller à aligner les nombres, virgule sous virgule. 6 7 3 8 2 9 5 6 7 3 8 2 9 1 1 55 ■ ■La multiplication Chaque technique opératoire a son propre algorithme et doit se différencier des autres aussi nettement que possible. Cette différenciation porte notamment sur la place des retenues. Pour la multiplication, celles-ci sont placées à droite de l’opération et non au-dessus des nombres (différent de l’addition). Pour la technique opératoire de la multiplication à deux chiffres, il existe deux variantes : ● la première est basée sur la décomposition canonique. Ex. : Dans 162 × 24, on calcule (162 × 4) + (162 × 20). ➞162 × 4 ➞162 × 20 1 6 2 × 2 4 6 4 8 3 2 4 0 3 8 8 8 ● la seconde variante est centrée sur la numération décimale. Ex. : Dans 162 × 24, on calcule 162 × 4 unités (on se place dans la colonne des unités), puis 162 × 2 dizaines (on se place dans la colonne des dizaines et on marque la non-utilisation de la colonne des unités par un point). La multiplication par 10, 100, 1000 se traduit souvent par l’écriture de « 0 » à la fin du nombre. Cette technique fonctionne pour les nombres entiers mais provoque de nombreuses conceptions erronées notamment lorsqu’il s’agit d’opérer sur les nombres décimaux. Il est donc préférable aujourd’hui de dire que multiplier par 10 revient à changer de rang : un nombre multiplié par 10 est 10 fois plus grand. Ex. : 12 unités multipliées par 10, c’est 12 dizaines donc 120. Cette approche permet une exploitation identique pour les nombres décimaux. En effet, 12 centièmes multipliés par 10, c’est 12 dixièmes donc 1,2. ■ ■La division La division peut avoir deux sens : celui de groupements et celui de partages. ● Dans le cas de groupements (division quotition), la taille des groupes est connue, on recherche le nombre de groupes. Ex. : J’ai 28 bonbons et je veux réaliser des sachets de 4 bonbons. ➔ Cela fait 7 sachets. ● Dans le cas de partages (division partition), la quantité d’objets est à partager équitablement en fonction d’un nombre de groupes déterminé ; on recherche le nombre d’objets dans chaque groupe. Ex. : Je veux répartir 28 bonbons dans 4 sachets. ➔ Cela fait 7 bonbons par sachet. L’opération sera notée dans le sens de la multiplication et pourra être traduite par l’utilisation du symbole « : ». En revanche, dans la division en ligne, le signe « = » ne pourra être associé qu’à un résultat sans reste : en effet, celui-ci n’est pas utilisé pour donner le résultat d’une division euclidienne mais celui d’une division exacte. Dans des problèmes de groupements, les élèves seront incités à dire « en a, combien de fois b ? », ce qui sous- entend « en a, combien de fois puis-je rassembler une quantité b ? » Cette formulation est essentielle, puisqu’elle est à la base de la verbalisation de l’algo- rithme de la technique opératoire de la division. L’algorithme de la division doit être appliqué et progres- sivement mémorisé pour être systématisé et automatisé. La procédure présente dans le manuel conserve les soustractions intermédiaires afin d’alléger la mémoire de travail des élèves. Progressivement, elles pourront faire l’objet d’un traitement mental. La mise en œuvre de l’algorithme et son automatisation peuvent faire oublier le sens de l’opération. Afin de ne pas perdre totalement ce sens, on proposera régulièrement aux élèves de vérifier l’opération en explicitant la relation fondamentale d’Euclide : Dividende (D) = diviseur (d) × quotient (q) + reste (r) (avec r < d). La proportionnalité En CM1, il sera essentiel pour les élèves de reconnaitre une situation de proportionnalité et de commencer à résoudre ce type de problème par des procédures adaptées et diverses. Une mise en mots des situations rencontrées permet une meilleure compréhension des problèmes numériques et des procédures à envisager : « quatre objets couteront quatre fois plus cher ». En CM1, trois procédures sont mises en avant : ● l’utilisation du coefficient de proportionnalité. Il est facile à mettre en œuvre mécaniquement mais difficile à comprendre dans une première approche. En effet, il met en œuvre une mesure quotient : le prix au kilogramme, la vitesse, etc. ; ● l’utilisation des propriétés de linéarité (additive, multi- plicative). L’exploitation de ces propriétés donne le sens fondateur de la proportionnalité. Par exemple, si je connais le prix de 2 objets et celui de 3 objets, je pourrai déterminer facilement le prix de 5 objets (en ajoutant les deux prix) ; ● l’utilisation de la valeur de l’unité. Le passage par l’unité est une méthode fréquemment utilisée dans les classes. Difficile, elle est toutefois à maitriser en fin de cycle 3. Il est à noter que la proportionnalité permet également un approfondissement de la connaissance des nombres. C’est un support remarquable pour « jouer avec les nombres ». CALCULS p. 56-57 du manuel Utiliser la calculatrice • Utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat. • Fonctions uploads/Management/ guide-pedagogique-nopm-calculs-cm1.pdf