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Analyse mathématique : Notes de cours : Chapitre II Hamza El Mahjour Licence 1

Analyse mathématique : Notes de cours : Chapitre II Hamza El Mahjour Licence 1 : SEG Analyse mathématique : Notes de cours : Chapitre II Hamza El Mahjour Licence 1 : SEG Copyright © El Mahjour Hamza. Les mathématiques pures sont, à leur ma- nière, la poésie des idées logiques. Albert Einstein Préface Chers étudiant(e)s, le livre suivant traitera les bases de l’analyse mathématique sur- tout l’étude des fonctions et leur variations. Plusieurs notions de ce document ont été déjà vu dans le programme de 2ème année de baccalauréat. Quand il s’agit de points techniques qui ne nécessitent pas de compréhension profonde des problèmes il serait bien de jeter un petit coup d’oeil avant d’assister au cours. Dans un pre- mier temps des rappels de cours seront donnés surtout la théorie des ensembles et la logique. Il est primordial de maîtriser ces notions aﬁn de mieux assimiler les démonstrations et les explications données. Le cours couvrira ensuite quatre axes diﬀérents et complémentaires aussi. Le premier chapitre concerne les fonctions réelles d’une seule variable, ensuite le deuxième chapitre va traiter les intégrales déﬁnies et généralisées. Ensuite, dans le chapitre suivant, un étude des fonctions à plusieurs variables avec des applications surtout sur les fonctions de R2 dans R. Finalement, l’optimisation des fonctions à travers leurs dérivées partielles sera le dernier point traité dans le quatrième chapitre. Je vous souhaite une bonne lecture. o CE DOCUMENT EST LOIN, TRÈS LOIN D’UNE VERSION FINALE, IL PEUT CONTENIR DES ERREURS ÉVENTUEL- LEMENT. VEUILLEZ SIGNA- LER TOUTE ANOMALIE DE- TECTÉE. vi 2 Intégrales déﬁnies et généralisées 1 2.1 Introduction : le problème de l’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Intégrale au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Propriétés de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.4 L’intégrale et la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.5 Intégrales indéﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.6 Techniques de l’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.6.1 Résultat de moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.7 Intégrale généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.8 Quelques critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 vii 1 2.1. INTRODUCTION : LE PROBLÈME DE L’AIRE 2 2. Intégrales déﬁnies et généralisées Essayer de faire du calcul intégral et diﬀérentiel sans utiliser de fonctions serait l’une des choses les plus inutiles que vous puissiez faire. Si le calcul inﬁnitésimal était une recette, les fonctions seraient le premier ingrédient. — Adrian Banner 2.1 Introduction : le problème de l’aire Il est facile de calculer l’aire d’une surface usuelle comme un triangle ou un rectangle. On voit sur la ﬁgure 2.1 que la surface verte au-dessous de la courbe de la fonction f(x) = 3x sur l’intervalle [0, 2] est obtenu grâce à la formule S1 = B×h 2 , donc S1 = 3×6 2 = 9. Et la surface rose est un rectangle, on applique donc la formule S2 = L × l = 4 × 3 = 12. Mais imaginez que nous avons envie de calculer l’aire S∗ Figure 2.1 – Les courbes successives des fonctions f(x) = 3x et g(x) = 3. au-dessous de la courbe d’une fonction x 7→x2 sur l’intervalle [0, 1]. Existe-t-il une 2.1. INTRODUCTION : LE PROBLÈME DE L’AIRE 3 Figure 2.2 – Il y a des rectangles "inférieurs" et d’autres "supérieurs". formule qu’on peut appliquer ? Eh bien, ce n’est pas tout à fait possible. Néanmoins, on pourrait "approcher" l’aire exacte de cette surface S∗par des aires approximatives. Nous allons eﬀectuer cette approximation en calculant des aires de rectangles d’aire totale majorant et minorant S∗comme il est montré sur la ﬁgure 2.2. On commence d’abord par diviser l’intervalle [0, 1] en quatre parties égales [0, 1 4], ] 1 4, 1 2, ]1 2, 3 4] et ]3 4, 1]. Nous allons nommé SM4 la somme des aires des rectangles dépassant S∗. Sm4 sera la somme des aires rectangles inférieur à S∗. On a bien sûr Sm4 ≤S∗≤SM4. En fait, la largeur et la longeur de chaque rectangle est facilement obtenu on multipliant la longueur de chaque sous-intervalles par l’image de f au point d’extrêmité. Plus précisément, nous allons calculer les sommes Sm4 et SM4 de la façon suivante Sm4 = 1 4 · f(0) + 1 4 · f(1 4) + 1 4 · f(1 2) + 1 4 · f(3 4) SM4 = 1 4 · f(1 4) + 1 4 · f(1 2) + 1 4 · f(3 4) + 1 4 · f(1). Ce qui donne à peu près l’estimation 0, 21 < S∗< 0, 46. On peut penser à raﬃner encore l’intervalle [0, 1] en le divisant en n = 5; 6; 7; . . . sous-intervalles. Pourquoi cette subdivision ? Pour mieux approcher la valeur exacte de S∗par Smn et SMn. On remarque que plus le nombre sous-intervalles considérés est grand plus la diﬀérence entre la surface exacte S∗et la somme des aires des rectangles diminue. On a éventuellement pour n = 8 l’estimation Sm8 ≃0, 27 ≤ S∗≤0, 39 ≃SM8. Quand n = 16, on obtient Sm16 ≃0, 30 ≤S∗≤0, 36 ≃SM16. Et pour n = 50, Sm50 ≃0, 32 ≤S∗≤0, 34 ≃SM50. L’idée donc pour trouver la valeur exacte de S∗est de faire tendre n vers l’inﬁni. C’est ainsi que se déﬁnit la somme de Riemann ! 2.2. INTÉGRALE AU SENS DE RIEMANN 4 Figure 2.3 – De gauche à droite, le nombre de sous-intervalles augmente. Les sommes inférieurs Smn (première ligne) et supérieurs SMn s’approchent de S∗ . 2.2 Intégrale au sens de Riemann Déﬁnition 2.1: Somme de Riemann Soit f une fonction déﬁnie sur un intervalle [a, b]. On divise cet intervalle en n sous-intervalles de longeur ∆x = b−a n . On pose a = x0; x1, x2, . . . , xn = b tels que xk = a + k∆x. On considère aussi des points x∗ 1, . . . , x∗ n tels que x∗ i ∈[xi−1, xi] pour i = 1, . . . , n. On appelle l’intégrale au sens de Riemann de f entre a et b la quantité Z b a f(x)dx = lim n→+∞ n X i=1 f(x∗ i ) · ∆x = lim n→+∞ n X i=1 f(x∗ i ) · b −a n . Si cette limite existe et est ﬁnie, on dit que f est Riemann intégrable ou intégrable au sens de Riemann. Proposition 2.1 Si une fonction f est continue sur un intervalle fermé [a, b] alors elle est intégrable au sens de Riemann. 2.2. INTÉGRALE AU SENS DE RIEMANN 5 Remarques 1. Une fonction peut être continue sur un intervalle ouvert ou semi- ouvert et pas forcément intégrable. Par exemple, essayez de trouver subdivision et des rectangles avec une somme d’aires ﬁnie pour cou- vrir la surface au-dessous du graphe de la fonction x 7→1 x sur ]0, 1]. 2. Une fonction discontinue, peut être intégrable, si les dicosntinuités sont assez "gentils". 3. L’intégrale de Riemann se base sur une limite d’une série numérique, c’est à dire que nous vons besoin d’avoir un bagage fort en séries numériques pour pouvoir calculer l’intégrale. Hors, ceci dépasse les objectifs de ce cours. C’est pourquoi que nous avons besoin d’un autre moyen pour surmonter cette diﬃculté. Dans la remarque 2 de la liste des remarques précédentes, il est dit que les dis- continuité doivent être "gentils", c’ets une expression qui n’est ni rigoureuse ni ma- thématique. Mais pour comprendre son sens voici deux exemples. Exemple 2.1 1. Soit f la fonction déﬁnie sur l’intervalle [0, 3] telle que f(x) =      x si x ∈[0, 1], 3 −x si x ∈]1, 3 2], q x −3 2 si x ∈]3 2, 3] La fonction f a deux discontinuités aux points 1 et 3 uploads/Management/ main.pdf