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Dérivation Dérivation (SMAEG) Analyse Mathématique - L1 MASS 2019/2020 160 / 26

Dérivation Dérivation (SMAEG) Analyse Mathématique - L1 MASS 2019/2020 160 / 267 Dérivation Dé nitions 1. Dé nitions 1.1 Dérivée en un point et fonction dérivée : Dé nition Soit I un intervalle, f : I →R une fonction et x0 un élément de I. On dit que f est dérivable en x0 si f (x) −f (x0) x −x0 a une limite nie quand x tend vers x0. Dans ce cas on note : f ′(x0) = lim x→x0 f (x) −f (x0) x −x0 = lim h→0 f (x0 + h) −f (x0) h f ′(x0) s'appelle dérivée de f en x0. On dit que f est dérivable sur l'intervalle I si f est dérivable en tout point de I. Dans ce cas, la fonction f ′ : I →R qui à x associe f ′(x), s'appelle la dérivée de f . (SMAEG) Analyse Mathématique - L1 MASS 2019/2020 161 / 267 Dérivation Dé nitions 1.2 Dérivée à droite, dérivée à gauche : On dit que f est dérivable à droite en x0 si f ′ d(x0) = lim x→x+ 0 f (x) −f (x0) x −x0 = lim h→0+ f (x0 + h) −f (x0) h existe dans R. On dit que f est dérivable à gauche en x0 si f ′ g(x0) = lim x→x− 0 f (x) −f (x0) x −x0 = lim h→0− f (x0 + h) −f (x0) h existe dans R. (SMAEG) Analyse Mathématique - L1 MASS 2019/2020 162 / 267 Dérivation Dé nitions Théorème La fonction f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche en x0 et f ′ d(x0) = f ′ g(x0). Exemple La fonction f (x) = |x| n'est pas dérivable en 0. En eet, Le rapport f (x) −f (x0) x −x0 = |x| −|0| x −0 est égal à x x = 1 si x > 0 et à −x x = −1 si x < 0 . D'où f ′ d(0) = 1 et f ′ g(0) = −1. La fonction valeur absolue est donc dérivable à gauche et à droite en 0, mais n'est pas dérivable en 0. (SMAEG) Analyse Mathématique - L1 MASS 2019/2020 163 / 267 Dérivation Dé nitions Théorème Si f est dérivable en x0 alors f est continue en x0. Remarque La réciproque de ce théorème est fausse. Par exemple, la fonction f (x) = |x| est continue mais non dérivable en 0. (SMAEG) Analyse Mathématique - L1 MASS 2019/2020 164 / 267 Dérivation Dé nitions 1.3 Dérivées successives : Soit f : I →R une fonction dérivable en tout point de I. Si f ′ est elle même dérivable, sa fonction dérivée est appelée dérivée seconde et notée f ′′. Plus généralement, si n est un entier naturel, on dé nit, si elle existe, la dérivée n-ième de f par : f (0) = f ; f (n) = f (n−1)′ n ∈N∗ Si la dérivée n-ième de f existe, on dit que f est n fois dérivable. Dé nition Si f ′ est continue sur I on dit que f est de classe C 1 sur I (ou continument dérivable sur I). Soit n ∈N. on dit que f est de classe C n sur I, si et seulement si f est au moins n-fois dérivable et la dérivée n-ième f (n) est continue sur I. f est dite de classe C ∞sur I si f est indé niment dérivable sur I. (SMAEG) Analyse Mathématique - L1 MASS 2019/2020 165 / 267 Dérivation Dé nitions Exemple Soit f (x) = 2x3 + x −1. f ′(x) = 6x2 + 1 ; f ′′(x) = 12x ; f (3)(x) = 12 ; f (4)(x) = 0 ; et f (n) = 0, ∀n ≥5. Ainsi, f est de classe C ∞sur R. Plus généralement, toute fonction polynôme f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 est de classe C ∞sur R. La fonction ex est de classe C ∞sur R. En eet, on a : (ex)(n) = ex ∀n ∈N. (SMAEG) Analyse Mathématique - L1 MASS 2019/2020 166 / 267 Dérivation Dé nitions 1.4 Dérivées usuelles : Tableau des dérivées usuelles f(x) f'(x) k ∈R 0 ax+b a 1 x −1 x2 √x 1 2√x xn nxn−1 ln(x) 1 x exp(x) exp(x) cos(x) -sin(x) sin(x) cos(x) (SMAEG) Analyse Mathématique - L1 MASS 2019/2020 167 / 267 Dérivation Propriétés de la dérivée 2. Propriétés de la dérivée 2.1 Opérations sur les dérivées : Soient f et g deux fonctions dérivables sur I ⊂R. la somme ou la diérence : (f (x) ± g(x))′ = f ′(x) ± g′(x) le produit : (f (x) × g(x))′ = f ′(x) × g(x) + f (x) × g′(x) le quotient : f (x) g(x) ′ = f ′(x)g(x) −f (x)g′(x) g2(x) la composition : (f ◦g)′ (x) = f ′(g(x)) × g′(x) la dérivée de l'inverse : f −1′ (x) = 1 f ′ (f −1(x)) (SMAEG) Analyse Mathématique - L1 MASS 2019/2020 168 / 267 Dérivation Propriétés de la dérivée Exemples : considérons f (x) = ln x et g(x) = x2 + 1 Somme et diérence : (f (x) ± g(x))′ = (ln x ± (x2 + 1))′ = (ln x)′ ± (x2 + 1)′ = 1 x ± 2x Produit : (f (x) × g(x))′ = ln x (x2 + 1) ′ = (ln x)′ (x2 + 1) + ln x (x2 + 1)′ = x2 + 1 x + 2x ln x Quotient : f (x) g(x) ′ = ln x x2 + 1 ′ = (ln x)′(x2 + 1) −ln x(x2 + 1)′ (x2 + 1)2 = x2+1 x −2x ln x (x2 + 1)2 = x2 + 1 −2x2 ln x x(x2 + 1)2 (SMAEG) Analyse Mathématique - L1 MASS 2019/2020 169 / 267 Dérivation Propriétés de la dérivée Composition : (f ◦g)′ (x) = ln(x2 + 1) ′ = (x2 + 1)′ × 1 x2 + 1 = 2x x2 + 1 Dérivée de l'inverse : On a : g(x) = x2 + 1 ; g−1(x) = √x −1 ; g′(x) = 2x. D'où g−1′ (x) = 1 g′(√x −1) = 1 2√x −1 En appliquant les règles précédentes nous avons également Fonction (f (x))n ef (x) ln(f (x)) 1 f (x) Dérivée nf ′(x)(f (x))n−1 f ′(x)ef (x) f ′(x) f (x) −f ′(x) (f (x))2 (SMAEG) Analyse Mathématique - L1 MASS 2019/2020 170 / 267 Dérivation Propriétés de la dérivée 2.2 Théorèmes Importants : Théorème de Rolle : Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ Si f (a) = f (b) alors ∃c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = 0. Théorème des accroissements nis (T.A.F) : Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ alors ∃c ∈]a, b[ tel que f (b) −f (a) = (b −a)f ′(c) Régle de l'Hôpital : Soient f et g sont deux fonctions continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[ telles que f (a) = g(a) = 0. Si lim x→a f ′(x) g′(x) = ℓ alors lim x→a f (x) g(x) = ℓ (SMAEG) Analyse Mathématique - L1 MASS 2019/2020 171 / 267 Dérivation Propriétés de la dérivée Exemple 1 : Application du T.A.F pour calculer une limite lim x→+∞x2(e 1 x+1 −e 1 x ) Soit x > 0. La fonction f (x) = ex est continue sur [ 1 x+1 ; 1 x ] et est dérivable sur ] 1 x+1 ; 1 x [. D'après T.A.F, il existe c(x) ∈] 1 x+1 ; 1 x [ tel que f ( 1 x + 1) −f (1 x ) = e 1 x+1 −e 1 x = f ′(c) 1 x + 1 −1 x = −ec x(x + 1) On a alors : x2(e1/x+1 −e1/x) = −x2 ec x2 + x Puisque 1 x + 1 < c < 1 x alors c →0 quand x →+∞et lim x→+∞ec = 1. On a aussi lim x→+∞ x2 x2 + x = 1. Donc lim x→+∞x2(e 1 x+1 −e 1 x ) = −1 (SMAEG) Analyse Mathématique - L1 MASS 2019/2020 172 / 267 Dérivation Propriétés de la dérivée Exemple 2 : Règle de l'Hôpital pour calculer une limite Calculons la limite suivante : lim x→0 ln(x + 1) −x x2 Posons : f (x) = ln(x + 1) −x et g(x) = x2. Alors on a : f ′(x) = 1 x + 1 −1 ; g′(x) = 2x. D'où : f ′(x) g′(x) = 1 x + 1 −1 2x = −x 2x(x + 1) = −1 2(x + 1). En appliquant la règle de l'Hôpital , on obtient donc : lim x→0 ln(x + 1) −x x2 = lim x→0 f ′(x) g′(x) = −1/2 (SMAEG) Analyse Mathématique - L1 MASS 2019/2020 173 / uploads/Management/ s1-mass-2020-fonction-derivation.pdf