CHAPITRE 4 – FORMULATION DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS – ANALYSE LINÉAIRE DE
CHAPITRE 4 – FORMULATION DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS – ANALYSE LINÉAIRE DES SOLIDES ET MÉCANIQUE DES STRUCTURES 4.1 4.1 INTRODUCTION Un champ d’application très important pour l’analyse par la méthode des éléments finis est l’analyse linéaire des solides et structures. C’est dans ce champ d’application où les premières procédures d’éléments finis ont été appliquées et où la méthode d’éléments finis a obtenu son premier élan de développement. De nos jours, plusieurs types d'analyses linéaires des structures peuvent être accomplis d’une manière routinière. Les schémas de discrétisation par élément finis sont bien établis et sont utilisés dans des programmes informatiques standards. Cependant, il y a deux domaines dans lesquelles les éléments finis ont été développés récemment, notamment, l’analyse de structures de plaques et coques et la solution de milieu incompressible (ou presque). La formulation standard pour la solution par éléments finis des solides est la méthode de déplacement, qui est très utilisée et efficace à l’exception des deux champs mentionnés ci-haut. Pour l’analyse des structures de plaques et coques et la solution des fluides incompressibles, des formulations mixtes sont préférables. Dans ce chapitre, on introduit l’analyse en détail de la méthode basée sur le déplacement. Le principe du travail virtuel est la relation de base utilisée pour la formulation par élément finis. On établie premièrement les équations d’élément finis gouvernantes et après on discute des propriétés de convergence de la méthode. Puisque la solution basée sur le déplacement n’est pas effective dans certaines applications, on introduit l’utilisation des formulations mixtes dans lesquelles, pas uniquement, les déplacements qui sont utilisés comme variables inconnues. L’utilisation de la méthode mixte, cependant, requiert une sélection minutieuse d’interpolations appropriées, et nous adressons cet aspect dans la dernière partie du chapitre. Plusieurs formulations de déplacements et mixtes ont été présentées dans la littérature, comme mentionné avant, notre objectif n’est pas de survoler ces formulations. Cependant, on va concentrer dans ce chapitre sur des principes utiles et importants pour la formulation par éléments finis. Quelques applications efficaces des principes discutés dans ce chapitre sont après présentées dans le chapitre 5. 4.2 Formulation de la méthode des éléments finis basée sur le déplacement La méthode des éléments finis basée sur le déplacement peut être considérée comme une extension de la méthode de déplacement pour l’analyse des structures de poutres et de treillis. Et il est par conséquent important de réviser ce processus d’analyse. Les étapes de base dans une analyse d’une structure de poutre ou de treillis en utilisant la méthode de déplacement sont : 1. Idéaliser la structure totale comme un assemblage d’éléments de poutres ou de treillis qui sont inter connectés aux joints structuraux. 2. Identifier les déplacements inconnus des joints qui définissent complètement la réponse de la structure idéalisée. 3. Formuler les équations des forces correspondant aux déplacements inconnus des joints et résoudre ces équations. 4. Avec les déplacements connus aux extrémités des éléments de poutres et de treillis, calculer les distributions de contraintes internes de ces éléments 5. Interpréter, se basant sur les hypothèses utilisées, les déplacements et les contraintes prédites par la solution de la structure idéalisée. CHAPITRE 4 – FORMULATION DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS – ANALYSE LINÉAIRE DES SOLIDES ET MÉCANIQUE DES STRUCTURES 4.2 Pour une analyse et une conception pratiques, les étapes les plus importantes de l’analyse complète sont la propre idéalisation du problème actuel, comme compléter dans l’étape 1, et l’interprétation correcte des résultats, comme dans l’étape 5. Dépendant de la complexité du système actuel à être analyser, des connaissances considérables des caractéristiques du système et de son comportement mécanique peuvent être exigées dans le but d’établir une idéalisation appropriée, comme il a été discuté brièvement dans le chapitre 1. Ces étapes d’analyse ont été d’ores et déjà démontrées, jusqu’à un certain degré, au chapitre 3, mais il est instructif de considérer un autre exemple plus complexe. Exemple 4.1 Le système de tuyaux montré à la Figure E4.1(a) doit être capable de supporter une grande charge transversale P appliquée accidentellement à l’âme connectant les tuyaux de grand et petit diamètres. Analyser ce problème. L’étude de ce problème peut nécessiter un certains nombre d’analyses dans lesquelles le comportement cinétique local de l’intersection des tuyaux est proprement modélisé, le matériau non-linéaire et les comportements géométriques sont prises en comptes, les caractéristiques des charges appliquées sont modélisées avec précision et ainsi de suite. Dans une telle étude, il est souvent plus expéditif de commencer avec une simple analyse dans laquelle des hypothèses générales sont faits et après travailler à raffiner le modèle de plus en plus selon les besoins (voir section 6.8.1). Supposant que dans une première analyse on veut d’abord calculer le déplacement transversal de l’âme lorsque la charge transversale est appliquée lentement. Dans ce cas, il est raisonnable de modéliser la structure comme un assemblage d’éléments de poutres, de treillis, et de ressorts et appliquer une analyse statique. Le modèle choisi est montré sur la Figure E4.1 (b). L’idéalisation de la structure consiste en deux poutres, un treillis et un élément de ressort. Pour l’analyse de cette idéalisation (schématisation) on évalue en premier lieu les matrices de rigidité des éléments correspondant aux degrés de liberté de la structure globale montrée sur la Figure E4.1(c). Pour les éléments de poutre, ressort, et le treillis, respectivement, on a dans ce cas : ; 4 6 12 2 6 4 6 12 6 12 2 2 2 1 − − − − − − − − − − − − = = = = L L symétrique L L L L L L EI K e 4 3 2 1 , , , U U U U CHAPITRE 4 – FORMULATION DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS – ANALYSE LINÉAIRE DES SOLIDES ET MÉCANIQUE DES STRUCTURES 4.3 4.2.1 Dérivation générale des équations d’équilibre de la méthode des éléments finis Dans cette section, on établie d’abord le problème général d’élasticité à être solutionné. Après on discute le principe des déplacements virtuels, qui est utilisé comme base pour notre solution par élément finis, et nous dérivons les équations d’éléments finis. Ensuite nous élaborons sur quelques considérations importantes concernant la satisfaction de l’équilibre des contraintes et finalement on discute quelques détails sur le processus d’assemblage des matrices des éléments. Nature du problème (voir Figure 4.1) Considérons l’équilibre d’un corps général en trois dimensions tel que celui montré sur la Figure 4.1. Le corps est localisé dans le système fixe de coordonnées (X,Y,Z). Considérons la surface de l’aire du corps, le corps est supporté sur une surface Su, avec des déplacements prescrits USu et est soumis aux tractions de surface fSf (forces par unité d’aire de surface) sur l’aire de surface Sf. En plus, le corps est soumis à des forces de volume externes fB (Forces par unité de volume) et aussi à des charges concentrées i C R . En général, les forces externes ont trois composantes correspondantes aux axes X,Y et Z : = = = = B Z B Y B X B f f f f ; = = = = f f f f S Z S Y S X S f f f f ; = = = = i CZ i CY i CX i C R R R R (4.1) où on note que les composantes de fB et fSf varient en fonction de X,Y, et Z ( et pour fSf, les coordonnées spécifiques de Sf sont considérées). Les déplacements du corps dans sa configuration non chargée sont mesurés dans le système de coordonnées X,Y, et Z et sont dénotés par U, où : ( ( ( ( ) ) ) ) uploads/Management/ methode-des-elements-finis.pdf
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- Publié le Sep 08, 2022
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