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UNNERSITÉ DU QUÉBEC À CHICOUTIMI MÉMOIRE PRÉSENTÉ À L~UNNERSITÉ DU QUÉBEC À CHI

UNNERSITÉ DU QUÉBEC À CHICOUTIMI MÉMOIRE PRÉSENTÉ À L~UNNERSITÉ DU QUÉBEC À CHICOUTIMI COMME EXIGENCE PARTIELLE DE LA MAÎTRISE EN INGÉNIERIE SÉBASTIEN PERRON RÉSOLUTION AVEC LA MÉTHODE DES VOLUMES FINIS DIRIGÉS DE L~ÉQUATION DE LA CHALEUR POUR DES PROBLÈMES DIPHASIQUES EN I D ET 2D MAI 1998 National Libr;uy BibFothèque nationale du Canada hquisiions and Acquisitions et BibSiraphic Services senrices bibliographiques 395 W e î ü i Street 395. rue Wellington W O N K 1 A W CMawaON K1AON4 Canada Canada The author has granted a mm- L ' a u t e u r a accordé une licence non exclusive licence all0wk.g the exclusive permettant à la National Library of Canada to Bibliothèque n a t i o n a l e du Canada de reproduce, loan, distri'bute or sel1 reproduire, prêter, distri'buer ou copies of this thesis m &of- vendre d e s copies de cette thèse sous paper or eiectronic formats. la forme de microfiche/nlm, de reproduction sut papier ou s u r f o r m a t elecîronique. The anthor retains ownedq of the L ' a u t e u r conserve la propriété du copfight in this thesis. Neidier the droit d ' a u t e u r qui protège cette thèse. thesis n o r s u b s t a n . t i a l ~ e x t r a c t s eom it N i la thése ni des extraits substantiels may be printed or otherwise . de celle-ci ne doivent être imprimés reproduced without the a u t h o r ' s ou autrement reproduits sans son permission. autorisation. Résumé Ce travail porte sur la résolution de problèmes de changement de phase en 1 D et 2D lorsque le seul mode de transfert de chaleur est la conduction. On ne considère que les changements de phase liquide-solide (solidification) et solide-liquide (fusion) à une température donnée. Ce type de problème peut être modélisé par l'équation aux dérivées partielles dH(x' ' - V - (kVT(x, t)) = 0 , at est une fonction discontinue à T = Tf. Cette discontinuité marque la séparation entre le solide et le liquide et est appelée interface diphasique. Les propriétés k, % , et t+i sont constantes pour une phase donnée, L et p sont constantes. Cette équation doit habituellement être résolue avec un schéma numérique. Le schéma numérique que l'on utilise est la méthode des volumes finis dirigés. Il s'agit d'un nouveau schéma numérique de résolution d'équations aux dérivées partielles. Ce schéma numérique est une méthode de volumes finis espace-temps qui permet le déplacement des noeuds du maillage. Lors de la résolution des équations de discré- tisation, la position de certains noeuds du maillage est inconnue. De plus, puisque le schéma permet la rencontre de noeuds, le pas de temps est parfois inconnu. Dans ce travail, on définit les volumes de contrôle, les fonctions interpolantes et la base d'approximation pour des problèmes 1 D et 2D. De plus, on présente les équations discrètes utilisées pour la résolution de problèmes ID. Pour les problèmes en 2D, seul le développement des équations discrètes est présenté. Des résultats numériques en 1D et 2D sont présentés. En premier lieu, des résultats numériques sont comparés avec des solutions analytiques. Ensuite, des tests originaux sont présentés. Ces tests montrent que la méthode permet de gérer naturelle- ment la présence de plusieurs interfaces. De plus, les solutions sont très précises et ne comportent aucune oscillation. Avant-propos Je tiens à remercier M. Pierre Joyal, mon directeur, pour m'avoir permis de réaliser ce travail de recherche. I l a su très bien me guider dans mon apprentissage et il m ' a permis de développer au maximum mes habilités. Table des matières Avant-propos Table des matihes Liste des figures Liste des tableaux Nomenclature Introduction 1 1 Caractérisation du problème 4 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Modèle mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Variables adimensionnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Méthodes de résolution du problème 13 2.1 Méthodes numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Solutions analytiques en 1 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Condition de type Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Condition de type Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Solution approximative en 2D, condition de Dirichlet . . . . . . . . . . 1 9 3 Présentation du schéma numérique en 1 D 21 3 . 1 Cadre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Volumes de contrôle espace-temps en I D . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Discr6tisation du probkme en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Fonctions interpolantes en 1D 3.3.2 Fonctions de la base de I'espace d'interpolation en 1 D . . . . . . C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 4 Equations dicrktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Noeud intkrieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Noeud sur une frontikre 4 Mise en oeuvre du schema numgrique en ID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 2 Ddplacement des noeuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Rencontre de noeuds 4 . 3 . 1 Rencontre B l'interieur du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Rencontre sur le bord du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Entr6e dam le domaine de l'interface . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 4 . 1 Condition au bord de type Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Condition au bord de type Dirichlet 5 R6sultats numkriques e n 1 D 42 5.1 Condition au bord de type Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Test 1, fusion de la glace 43 . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Test 2. solidification de l'aluminium 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Condition au bord de type Neumann 47 5.2.1 Test 3. solidikation de 1'aIuminiu.m pour me condition de flux . 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 3 uploads/Management/ mq-33790.pdf