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Royaume du Maroc UNIVERSITÉ MOHAMED V AGDAL - RABAT ÉCOLE MOHAMMADIA D’INGÉNIEU

Royaume du Maroc UNIVERSITÉ MOHAMED V AGDAL - RABAT ÉCOLE MOHAMMADIA D’INGÉNIEURS Département Modélisation et Informatique Scientiﬁque Mémoire de Projet de Fin d’Etudes Optimisation d’un portefeuille multi-assets selon les approches VaR & CVaR Soutenu le : 01/06/2015 Présenté par : M r AATEK Rachad M lle EL BAJTA Intissare Devant le jury composé de : M r Abdelaziz AMINE P.E.S. EMI Président M me Joumala ALAOUI P.E.S. EMI Rapporteur M r Rachid ELLAIA P.E.S. EMI Encadrant M r Moncef GHAFFOULI Responsable desk actions WAFAGESTION Parrain Année universitaire 2014/2015 Résumé Le problème d’allocation optimale d’actifs constituants un portefeuille représente le déﬁmajeur pour une société de gestion. Le problème classique est d’atteindre un niveau de rendement anticipé avec un minimum de risque. C’est dans l’optique de répondre au besoin du gérant, à savoir atteindre un maximum de rendement moyen espéré pour un niveau de risque donné, que ce projet de ﬁn d’études à été réalisé. La première étape du travail consiste à évaluer la mesure de risque imposée, à savoir la Value at Risk, et à valider les diﬀérentes méthodes de calcul élaborées. Nous nous sommes intéressés par la suite à la modélisation mathématique du problème d’optimisation. Nous présentons deux modèles ; à savoir le modèle de Rockafellar & Uryasev et notre nouvelle approche d’allocation sous contrainte VaR. Nous nous intéressons dans un premier temps à l’adaptation des modèles selon les exigences d’investissement de chaque gérant. Dans un second temps, nous nous intéressons au back test des modèles élaborés. Enﬁn nous testons la performance des modèles et exposons les intérêts majeurs de chacune des deux stratégies d’allocation. Mots clés : Valeur à Risque, Valeur à Risque Conditionnelle, Portefeuille, Optimisation, Modélisation. 1 Abstract The problem of researching the optimal allocation of assets composing a portfolio represents the major challenge for a management company. The classic problem is to achieve a level of expected returns with minimal risk. In this context, this work aims to meet the need of the manager to maximize the average expected return for a given level of risk. The ﬁrst step of this work is to assess the risk measure imposed, namely Value at Risk, and validate the diﬀerent calculation methods developed. We are interested in modeling the mathematical optimization problem. We present two models ; namely the Rockafellar & Uryasev model and our new approach of optimization under VaR constraint. We focus initially on the models of adaptation according to the investment requirements of each manager. Secondly, we back test the developed models. Finally we test the model performance and expose the major interests of both allocation strategies. Keywords : Value at Risk, Conditional Value at Risk, Portfolio, Optimization, Modeling. 2 Remerciements Au terme de ce travail, nous avons l’honneur d’exprimer nos vifs remerciements pour notre respectueux professeur, M.Rachid ELLAIA , d’avoir accepté notre encadrement ainsi que pour son soutien, ses remarques pertinentes et son encourage- ment. Nous tenons à exprimer notre plus profonde gratitude à la société de gestion WAFA GESTION pour nous avoir oﬀert l’opportunité d’eﬀectuer ce stage, qui est enrichissant pour notre carrière. Aussi remercions-nous notre parrain, M. Moncef GHAFFOULI, responsable desk action WAFA GESTION, pour la conﬁance qu’il nous a accordée en nous proposant ce projet de ﬁn d’étude. Nous le remercions également pour son aide, ses précieux conseils et clariﬁcations prodigués tout au long de la période de notre stage. Qu’ils trouvent ici le témoignage de notre profonde et sincère gratitude. Nous tenons à remercier en particulier M me Joumala ALAOUI d’avoir accepté d’évaluer notre travail ainsi que M r Abdelaziz AMINE d’avoir présidé note jury de soutenance. Aﬁn de n’oublier personne, nous remercions toutes les personnes ayant contribué de près ou de loin à satisfaire notre curiosité et qui ont rendu possible la réalisation de ce projet. 3 Table des matières Résumé 1 Abstract 2 Remerciements 3 Introduction 9 1 Contexte général : 11 1.1 Présentation de l’organisme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Gestion de portefeuille : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Portefeuille : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Les stratégies de gestion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 La théorie moderne du portefeuille : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Le risque de marché : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1 Déﬁnition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 Les mesures de risque : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Value at Risk 19 2.1 Généralités : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Histoire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 Déﬁnition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.3 Les paramètres de la Value at Risk : . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Méthodes de calcul de la VaR : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Méthode historique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Méthode bootstrap : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 Méthode paramétrique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Méthode Monte Carlo : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Backtesting : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4 Conditional Value at Risk ( CVaR ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.1 Limites de la VaR : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.2 Conditional Value at Risk ( CVaR ) : . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Modélisation des problèmes d’optimisation de portefeuilles & Al- gorithmes de résolution 42 3.1 Modélisation du problème d’optimisation sous contrainte CVaR : . . 42 3.1.1 Descriptif de l’approche : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Optimisation d’un portefeuille multi-assets selon l’approche VaR/CVaR 3.1.2 Ecriture mathématique du problème : . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.3 Problème d’optimisation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.4 Algorithme de résolution (Méthode de Points Intérieurs) : . . 48 3.2 Modélisation du problème d’optimisation sous contrainte VaR : . . . 53 3.2.1 Descriptif de l’approche : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.2 Ecriture mathématique du problème : . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.3 Problème d’optimisation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.4 Algorithme de résolution (Particle Swarm Optimization) : . . 55 4 Réalisation et validation des modèles : 59 4.1 Construction du portefeuille : . . . uploads/Management/ pfe-aatek-el-bajta-14.pdf