Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

1 Université Paris Villetaneuse Année 2013/2014 Clément Foucart Probabilités Pr

1 Université Paris Villetaneuse Année 2013/2014 Clément Foucart Probabilités Prépa Capes Probabilités et Statistiques: Eléments de cours et exercices Les programmes de mathématiques dans l'enseignement secondaire ainsi qu'en classes prépara- toires et BTS mettent de plus en plus en avant la théorie des probabilités. S'il est rare que les exercices de probabilités donnés au lycée et dans les premières années universitaires nécessitent des raisonnements di ciles en analyse réelle, plusieurs types de di cultés apparaissent lorsque l'on enseigne ou que l'on étudie les probabilités. D'une part, des énoncés mal construits (trop succincts ou au contraire trop longs) peuvent rapidement bloquer le lecteur 1. D'autre part, on peut être amené à mobiliser des connaissances en analyse ou en algèbre (calculs de séries, d'intégrales, algèbre linéaire, matrice à inverser). La théorie de la mesure n'est pas au programme du CAPES. Nous nous bornerons donc à l'usage de notions probabilistes sans donner plus de détails quant à leurs dé nitions en théo- rie de la mesure. Il faut néanmoins bien comprendre que probabilités et intégration partagent beaucoup de choses, comme nous le verrons dans les chapitres suivants, probabilités discrètes (respectivement continues) amènent à l'étude de séries (respectivement d'intégrales). A n de donner un cadre clair, nous introduirons rapidement les tribus (c'est d'ailleurs au programme en classes préparatoires économiques et sociales, voie scienti que). D'un point de vue pédago- gique, introduire les tribus permet de s'entraîner à manipuler les sous-ensembles. Les exercices accompagnés du signe # sont corrigés. Ils ont été dans leur grande majorité rédigés par Alexandre Genadot et Pierre Veuillez (http ://mathsece.free.fr/) 2. A n de vous entraîner, vous pouvez consulter les références suivantes : Ouvrages utilisés pour la rédaction de ce polycopié 1) Intégration et Probabilités, Auliac, Cocozza-Thivent, Mercier, Roussignol, EdiScience. 2) Probabilités, analyse de données et Statistiques, Saporta, Technip. 3) Polycopié du cours de préparation au capes de Paris 6. Frédérique Petit et Béatrice de Tilière (disponible en ligne sur la page de B. de Tilière) 4) Probabilités et statistiques pour le CAPES externe et l'Agrégation interne de Mathématiques (Jé- rôme Esco er) 5) Annales des ECRICOMES (pour les problèmes et exercices de probabilités : http ://mathsece.free.fr/sujetsent 6) Analyse pour l'agrégation, Zuily et Queélec. Dunod, Références pouvant être consultées 1) Probabilités Tome 1, licence- capes Jean-Yves Ouvrard, chez Cassini 2) Introduction au calcul des probabilités et à la statistique, Jean-François Delmas, disponible en ligne 3) Probability and random processes Grimmett and Stirzaker third edition, Oxford 1. et ceci est vrai à tout niveau. 2. J'en pro te pour les remercier ici. 2 Table des matières 1 Rappels fondamentaux 5 1.1 Rudiments sur les ensembles et les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Notions de base sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Ensembles et fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Ensembles au plus dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Ensembles nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Espaces probabilisés 15 2.1 Terminologie probabiliste et notion de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Formule des probabilités totales et formule de Bayes . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Variables aléatoires : notion de loi et de moments . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 Loi d'une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2 Fonctions de répartition et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Variables aléatoires discrètes 37 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1 Loi et fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.2 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.3 Composition d'une variable aléatoire et d'une fonction et indépendance . 40 3.1.4 Moments, variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Vecteurs aléatoires discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.1 Vecteurs aléatoires discrets : lois marginales, indépendance . . . . . . . . 44 3.3.2 Structure algébrique, covariance et corrélation . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.3 Loi multinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.4 Somme de variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4 Variables aléatoires à densité 73 4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.1.1 Loi et fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1.2 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3 4 TABLE DES MATIÈRES 4.1.3 Composition d'une variable aléatoire et d'une fonction et indépendance . 76 4.1.4 Moments, variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2 Lois à densité usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.3 Vecteurs aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Management/ poly-capes.pdf