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1 Pourquoi apprendre à faire les opérations à la main ? Michel Delord - Lille,

1 Pourquoi apprendre à faire les opérations à la main ? Michel Delord - Lille, 29 septembre 2006 Aujourd'hui la question n'est plus de savoir si le calcul va reculer, mais quand il va disparaître. Rapport au Président de la République, 1976 Simon Nora et Alain Minc, :L'informatisation de la société Laurent Lafforgue vient de donner des axes de réponse à la question : « Pourquoi l’école ? ». Il a fait remarquer que l’on ne pouvait parler d’instruction que si l’on donnait un contenu déterminé et organisé à cette instruction. Je me contenterais ici de préciser ce contenu sur l’apprentissage des algorithmes écrits des opérations, une partie certes très réduite du programme de l’école primaire mais enjeu central dans les débats actuels, aussi bien nationaux qu’internationaux. Avant d’aborder directement cette question, il me semble nécessaire de faire quelques remarques préliminaires sur la fausse opposition entre connaissance du sens de l’opération et connaissance des algorithmes des opérations, opposition dont la solution n’est jamais, comme en général l’opposition entre les compétences de bases et la compréhension conceptuelle, la mise en avant exclusive d’un des aspects mais la compréhension du rapport entre les deux aspects de l’oppositioni. Aujourd’hui je ne m’intéresserai pas aux avantages de l’utilisation des nombres concrets, dont l’enseignement a été supprimée par la réforme des maths modernes et qui était une des bases de l’introduction de l’analyse dimensionnelle : il est piquant que ceux qui m ettent en avant le sens contre la technique soient ceux là même qui ont milité pour cette suppression, et pour la suppression, dans le cours d’arithmétique, de la leçon sens de l’opération qui lui correspondait et dans laquelle se trouvait la définition de chaque opération, qui était naturellement suivie par diverses leçons sur la technique de l’opération. Il est aberrant d’opposer le sens de l’opération et sa technique de celle-ci car un cours bien conduit du type de ceux présents dans tous les manuels des années 20 - et tout à fait assimilable – déduit la technique du sens. Je ne prendrais pour cela qu’un exemple, celui de l’addition mais on peut l’étendre à toutes les opérations. On disait régulièrement dans l’école de mon enfance, celle des années 50 : « On n’ajoute pas des vaches et des cochons » ou « On n’ajoute pas des torchons et des serviettes ». Il vaut peut être mieux dire, dés que la phrase est compréhensible pour les élèves « On n’ajoute que des quantités de même nature et on n’effectue l’opération que si elles sont exprimées dans la même unité ». Et au lieu de se poser des problèmes pour savoir si l’on peut ajouter deux oranges et trois vaches ou deux escargots et trois cochons1 alors que l’on n’a pas enseigné les unités fondamentales de longueur, de poids et de contenance, il vaut beaucoup mieux, en prenant de préférence ses exemples dans le Système International,ii dire i) on ne peut pas ajouter trois mètres et deux litres car ce ne sont pas des quantités de même nature ii) on peut ajouter trois mètres et deux décimètres mais, pour trouver le résultat, on n’ajoute pas trois et deux car ce sont certes des quantités de même nature - des longueurs - mais elles ne sont pas exprimées dans la même unité iii) pour ajouter trois mètres et deux décimètres, on remplace trois mètres par trente décimètres et l’on trouve que 3 m + 2 dm = 32 dm Posons maintenant l’addition de 2213 et 473 4 7 3 + 2 2 1 3 2 6 8 6 Si l’on ajoute 4 et 2 d’une part et 7 et 1 d’autre part , c’est bien parce que 7 et 1 sont de même nature, des dizaines, ainsi que 4 et 2 qui sont des centaines. Maintenant si l’on passe aux nombres décimaux et que l’on additionne 2,213 et 47,3 une fois l’explication précédente donnée2 : 1 Deux oranges et trois vaches : non si on les considère comme des fruits, oui si on les considère comme des solides déformables de poids inférieur à dix tonnes. Deux escargots et trois cochons : oui si on les considère comme des animaux, non si on les considère comme des mammifères ou des gastéropodes. 2 Et un nombre suffisant d’exercices donnés pour automatiser cette bonne habitude, pour que l’élève n’ait plus à se remémorer à chaque fois l’explication rationnelle mais que le maître puisse y revenir lorsqu’il y a erreur en ne donnant pas simplement, pour l’addition des décimaux, l’argument strictement technique Tu n’as pas aligné les virgules mais qu’il puisse dire Attention, tu additionnes des centièmes et des unités. 2 4 7 , 3 + 2 , 2 1 3 4 9 , 5 1 3 La même définition de l’addition permet de dire que l’on additionne 7 et 2 parce que ce sont des unités de la classe des unités simples et 3 et 2 parce que ce sont des dixièmes ce qui est la justification de la consigne pratique : Aligner les virgules. C’est également cette même définition qui permettra de définir l’addition des fractions et c’est ce que faisait déjà le Dictionnaire Pédagogique en 1882, au changement de vocabulaire près : « L’addition des fractions ( ou des expressions fractionnaires ) suppose qu’elles aient le même dénominateur , car on ne peut ajouter entre elles que des quantités de même espèce et de même dénomination ».iii I) Maîtrise générale du calcul à l’entrée en sixième iv Mais commençons par l’état des élèves sortant actuellement du primaire : nous nous intéresserons plus spécifiquement à la division qui est un bon indicateur du niveau général du calcul puisque sa maîtrise suppose celle des trois autres opérations. A) Evaluation sixième septembre 2005 : Numération, calcul mental, opérations Numération : Ecrire six cent vingt sept mille en chiffre : 25% d'échecs. Calcul mental : - Quel nombre faut-il ajouter à 25 pour trouver 100 ? 28% d'échecs. - Combien vaut 60 divisé par 4 ? 60% d'échecs. -Le constat est identique l'année précédente, où par exemple 35% des élèves furent incapables de trouver la moitié de 130. Calcul écrit : - 164,8 + 26,57 : 27% d’échecs. - 127,85 - 13,2 : 30% d’échecs. - 876 × 34 : 53% d'échecs. - 27,5 × 23 : 70 % d'échecs. - 81 divisé par 6 : 38 % d'échecs. - 408 divisé par 12 : 46 % d'échecs B) Evaluation Cinquième – Rentrée 2002 Un des arguments évoqués pour justifier cet état de fait est de prétendre : « les élèves l’apprendront au collège ». Mais à la première évaluation3 faite en 5eme en 2002, on obtient Pour la multiplication 9,74 × 3,5 : 62,7% d’échecs Et pour la division Exercice 28 a Exercice 28 b 3 9 7 8 13 1 7 8 , 8 8 0 7 306 1 8 22,35 7 8 2 8 0 4 0 0 Echec : 59% Echec : 74% Ces résultats sont si catastrophiques que l’évaluation en cinquième n’a pas été reconduite. 3 Et la seule car, au vu des résultats aussi bien en mathématiques qu’en français, l’expérience n’a pas été renouvelée et le mot d’ordre discret a été de cacher les résultats aux parents, comme l’a même recommandé officiellement l’académie de Créteil : « Il est d'ailleurs bon de rappeler que la communication de ces scores aux élèves ou à leurs parents n'est pas systématiquement prévue » 3 C) Un exemple de division faite par une excellente élève de sixième Il s’agissait de dire combien d’heures, de minutes et de secondes représentent 223 200 secondes. L’élève commence donc par faire la division de 223 200 par 3600 ( nombre de secondes correspondant à une heure ) pour trouver le nombre d’heures, … ce qui donne les pages suivantes : 4 5 II ) Evolution des programmes Programmes de 1945 ( en cours jusqu’en 1970) GS CP CE1 CE2 CM1 CM2 Calcul. - Groupements d'objets : 20, 30, 40, jusqu'à 50…. - Demi; moitié; tiers; quart. Petits exercices de calcul mental : additions, soustractions, multiplications, divisions. - Représentation des nombres, de l'unité jusqu'à 50. Petits exercices écrits de calcul avec dessins correspondants. - Les nombres de 1 à 100. Dizaines et demi-dizaines. Compter par 2, par 10, par 5. Usage du damier de cent cases et du mètre à ruban. Exercices et problèmes concrets d'addition, de comparaison et de soustraction (nombres d’un chiffre, puis de deux chiffres, de multiplication et de division par 2 et 5. Formation des nombres de 1 à 20. Table d'addition. Numération de 1 à 100, puis de l à 1.000 ; compter par milliers en liaison avec l'étude des unités usuelles du système métrique : franc, mètre, centimètre, kilomètre, litre, centilitre, hectolitre, gramme, kilogramme (sans l'usage de la virgule). Usage et pratique de l'addition et de la soustraction. Addition et soustraction mentales d'un nombre d’un chiffre. Table de multiplication. Usage et pratique de la multiplication et de la division (par un nombre de deux chiffres au plus) dans uploads/Management/ pourquoi-apprendre-a-faire-les-operations-a-la-main.pdf