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ETUDE THEORIQUE DU TRAFIC TELEPHONIQUE A.MAMAR Ce chapitre présente les princi

ETUDE THEORIQUE DU TRAFIC TELEPHONIQUE A.MAMAR Ce chapitre présente les principaux résultats qui permettent de dimensionner les équipements d'un réseau de Télécommunications But : Evaluer les performances d'un système de commutation qui répond à un cahier de charge ; Permettre le dimensionnement d'un central en fonction des prévisions et des observations de trafic • Méthode: Observation statistique du trafic : comptage du nombre d'occupations, mesure de la durée des conversations, etc.  Etude du comportement psychologique de l'abonné. Elaboration d'un modèle mathématique pour idéaliser la réalité observée pour la rendre accessible aux calculs. A partir de ces modèles mathématiques, la théorie de trafic établit des formules permettant, à l'aide de tables ou d'ordinateurs de dimensionner les organes. Hypothèses de travail Toute communication téléphonique s'établit en plusieurs phases successives, chacune d'entre elles correspond à la traversée d'un système d'organes Avant d'estimer les capacités de trafic de chaque système il faudra tenir compte des caractéristiques techniques du matériel utilisé et des caractéristiques du courant de trafic téléphonique. Caractéristiques techniques du matériel a) Le groupement des organes : C'est à dire comment sont traités les appels entrants. Généralement on fait la distinction entre les groupes suivants : Accessibilité totale (ou parfaite) : Chaque entrée libre peut trouver un chemin vers une sortie libre. Accessibilité partielle (ou imparfaite) : Dans ce cas une entrée ne peut atteindre qu'un nombre limité de sorties Système à mailles : La connexion entre une entrée et une sortie se fait par l'intermédiaire d'un système d'étages maillés.  Méthode de recherche : Selon la nature du trafic et des dispositifs techniques, les appels peuvent 'être servis de différentes façons, notons deux types fondamentaux de recherche :  Recherche au hasard : Tous les organes ont une prob. égale d'occupation. Recherche dans l'ordre : Le premier organe libre du système est choisi en priorité. Caractéristiques du courant de trafic Un courant de trafic téléphonique théorique est définit si l'on connaît l'instant du début et la durée de chaque communication le composant. Il sera donc entièrement défini si l'on se donne les fonctions de répartition de deux variables aléatoires à savoir :  Le processus de durée des appels : il exprime combien durent les conversations (ou occupations d'organes). En effet la durée des communications est imprévisible; toutefois en observant un nombre suffisant de communications on constate qu'il existe des appels brefs et des appels qui se rapprochent en dessus ou en dessous de la valeur moyenne.  Le processus d'arrivée des appels : il permet de décrire comment les appels se présentent devant un système d'organes Plusieurs modèles mathématiques ont été définis selon les hypothèses faites par exemple sur le nombre de sources d'appels et sur le nombre d'organes. Citons les modèles les plus importants : Le nombre d'organes n est limité (n < ∞) : n < ∞ et le nombre de sources N est infini répartition d'Erlang ⇒ n ≤ N et le nombre de sources N est limité répartition de Bernoulli ⇒ N < n < ∞ le nombre de sources N est limité répartition d'Engset. ⇒ Le nombre d'organes n est indéterminé (n = ∞ ) : n = ∞ et le nombre de sources N est infini répartition de Poisson ⇒ . on utilise le processus de POISSON pour décrire l'arrivée des appels PROCESSUSD'ARRIVEE DES APPELS : Processus de Poisson (n=∞ et N= ∞). C'est la loi centrale des études sur les files d'attente dans les réseaux de communication. Elle dépend d'un paramètre λ qui caractérise le débit moyen du flux. La prob. d'observer λ événements pendant une durée t est donnée par On va chercher de trouver les fonctions de répartition (ou de distribution) des arrivées, c'est à dire déterminer p0, p1, p2, .....px, prob. pour que 0, 1, 2, ..... x appels apparaissent pendant un intervalle t. Il peut être défini soit par : la loi des arrivées qui lie le nombre aléatoire d'appels qui apparaissent pendant un intervalle de temps] t, t+dt] et qui ne dépend que de la longueur de cet intervalle dt. la loi des intervalles qui donne la prob. pour que l'intervalle entre deux appels successifs dépasse une certaine valeur t. Un processus est dit poissonnien s'il a les propriétés suivantes : Il est stationnaire (ou homogène dans le temps), c'est à dire que le nombre d'appels (x) qui arrivent pendant l’intervalle] t0, t] est indépendant de t0, il ne dépend que de x et de t. il est sans mémoire, c'est à dire que les prob. de naissance d'appels dans chacun de deux intervalles de temps différents son indépendantes. Cela signifie encore que la prob. d'avoir x arrivée pendant ] t, t + dt[ est indépendant des arrivées qui ont eu lieu avant l'instant t. Il est ordonné, c'est à dire la prob. pour que plus d'un appel arrivent pendant un intervalle dt infiniment petit est négligeable. Densités de probabilités p(kt) de la loi de Poisson LOI DE DUREE EXPONENTIELLE des appels. La loi exponentielle négative est souvent utilisée pour modéliser des durées de vie, les temps entre les arrivées successives de clients dans des modèles des files d’attente, etc. La fonction de répartition des durées de conversation est un exemple. Elle peut se définir à partir de la prob. pour qu’une communication occupe les organes pendant une durée > à t. Soit g(t) cette fonction, elle est de la forme Cette fonction est naturellement décroissante dans [0, 1]. En effet, quand : - t tend vers 0, on a g(0) = 1, ce qui signifie que la majorité des appels ont effectivement une durée > à 0 s. - t tend vers ∞, on a g(∞) = 0, ce qui signifie qu’il est peu probable qu’un appel dure indéfiniment. Si on considère un nombre suffisant d’appels et si on classe ces résultats en pourcentages des appels ayant une durée > à t (exprimé en m par ex.), on obtient la courbe suivante : PROCESSUS D'ARRIVEE DES APPELS : Distribution de Bernoulli. (n ≤N et N = ∞). Rappel des expériences indépendantes : on dit que les expériences sont indépendantes si et seulement si : P(A1 xA2 x….x An) = P1(A1) x …..x Pn(An) "A Î Ai avec i = 1, n. Dans ce cas, on note : P = P1 . P2 . P3 ….Pn. Loi de Bernoulli : est la loi de prob. d’une série d’épreuves répétées possédant les propriétés suivantes :  Chaque épreuve donne lieu à 2 résultats possibles de probabilités constantes p et q q = 1-p : p = P(s) = prob. d’avoir un succès, q = 1 – p = P(é) = prob. d’avoir un échec. Les épreuves (s et é) répétées sont indépendantes les unes des autres. La variable aléatoire a pour valeur le nombre de succès dans une suite de n épreuves. Soit alors A l’évènement « au cours de n épreuves, on obtient k succès ». L’ordre d’apparition des succès n’intervient pas, la prob. de A est réalisée un nombre de fois égal nombre de combinaisons de k évènements pris parmi n, d’où la prob. : SYSTEME AVEC PERTES Notation: M / M / n / N / ∞ Considérons un groupe de serveurs, exploités ``en pool'‘ Les clients arrivent devant le groupe des serveurs selon un processus de Poisson, de taux λ. les clients sont servis immédiatement tant qu'un serveur au moins est libre Si les serveurs sont tous occupés, le client qui arrive est rejeté, et est supposé disparaître définitivement On parle de modèle ``à perte'' Ce modèle couramment utilisé pour le calcul du trafic est basé sur les hypothèses suivantes  Le processus d’arrivée des appels est poissonnien La loi des durées est une loi exponentielle Nombre de sources de trafic est très grand (N clients: théoriquement infini) par rapport aux organes communs (n serveurs). L’accessibilité est totale entre les appels considérés et les organes communs. Si toutes ces hypothèses sont vérifiées, on peut alors utiliser le modèle d’Erlang. Première formule d’Erlang E1,n(%) La formule d'Erlang avec perte, bien connue, indiquée par E1,n(Ao) notation assez classique est la prob. de trouver le système plein; compte tenu de la nature des arrivées, c'est aussi la prob. de rejet En particulier, pour un système mono canal (n = 1) la prob. de refus q et le débit relatif sont : APPLICATION Dimensionnement des faisceaux de circuits entre commutateurs. Le problème : on connaît en principe Ao, on fixe E1,n, on veut déterminer n. La loi n'est pas réversible donc usage de tables. Les différentes courbes sont relatives à différentes probabilités de blocage. Ces valeurs figurent dans des tables d’Erlang. Par exemple, pour une valeur typique de blocage utilisée dans le dimensionnement d'un faisceau direct , E1,n = 1 %, on voit que pour écouler un trafic offert de 20 E , il faut prendre n = 30 ( le trafic perdu est = 0.2 E). Exemple de courbe Nbre d'organes en fonction du trafic pour différentes valeurs de prob. d'échec Qualité de service La notion de Qualité uploads/Management/ etude-theorique-du-trafic.pdf