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M JEAN MICHEL SALANSKIS L'analyse non standard et la tradition de l'infini In:

M JEAN MICHEL SALANSKIS L'analyse non standard et la tradition de l'infini In: Revue d'histoire des sciences. 1988, Tome 41 n°2. pp. 157-207. Citer ce document / Cite this document : SALANSKIS JEAN MICHEL. L'analyse non standard et la tradition de l'infini. In: Revue d'histoire des sciences. 1988, Tome 41 n°2. pp. 157-207. doi : 10.3406/rhs.1988.4095 http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1988_num_41_2_4095 Abstract SUMMARY. — This text is trying to explain why the future of non standard analysis may be dependant of a general transformation of the attitudes and the goals of mathematicians. In that purpose, a reflexion is pursued about the comparative meanings of the finite and the infinite in pre-formalist mathematics, formalist mathematics, and more specifically in formalist non standard mathematics ; this is done under the presupposition that these meanings are better analysed in « ethical » terms. In the first section, we tell the recent story of non standard analysis and present the alternative ways of conceiving its destiny today. In the second section, we recall the traditional debate of infinitesimal calculus and establish the fact that the new insights brought by non standard analysis must not be connected with the question of the validity or practicability of leibnizian calculus, but with the more general and « philosophical » question of the meaning of the infinitesimal. In the third section we introduce our concepts of « ethic register » and of « light-sense » opposed to « use-sense », on the base of wich we describe the mutation between « naive » mathematics and formal ones. In the fourth section, we apply these concepts to the notions of the finite and the infinite, and pretend to characterize as formal senses or « use-senses » the non standard senses of the finite and the infinite. We conclude by a new examination of the possible future of the non standard method. Résumé RÉSUMÉ. — Ce texte essaie d'expliquer pourquoi le futur de l'analyse non standard est peut-être dépendant d'une transformation générale des attitudes et des buts des mathématiciens. Dans ce but, une réflexion est poursuivie au sujet des sens comparatifs du fini et de l'infini en mathématiques préformelles, formelles, et plus spécifiquement en mathématiques formelles non standard ; tout ceci en adoptant l'hypothèse que ces sens sont mieux analysés en termes « éthiques ». Dans la première section, nous racontons l'histoire récente de l'analyse non standard et présentons les façons alternatives de concevoir son destin aujourd'hui. Dans la seconde section, nous rappelons le débat traditionnel accompagnant le calcul infinitésimal, et nous établissons le fait que les nouvelles perspectives apportées par l'analyse non standard ne doivent pas être rattachées à la question de la validité ou la praticabilité du calcul leibnizien, mais à la question plus générale et « philosophique » du sens de l'infinitésimal. Dans la troisième section, nous introduisons nos concepts de « registre éthique » et de « sens-lumière » opposé au « sens-emploi », sur la base desquels nous décrivons la mutation qui fait passer des mathématiques « naïves » aux mathématiques formelles. Dans la quatrième section, nous appliquons ces concepts aux notions du fini et de l'infini, et prétendons caractériser en tant que sens formels ou « sens-emploi » les sens non standard du fini et de l'infini. Nous concluons par un nouvel examen du possible futur de la méthode non standard. L'analyse non standard et la tradition de l'infini RÉSUMÉ. — Ce texte essaie d'expliquer pourquoi le futur de l'analyse non standard est peut-être dépendant d'une transformation générale des attitudes et des buts des mathématiciens. Dans ce but, une réflexion est poursuivie au sujet des sens comparatifs du fini et de l'infini en mathématiques préformelles, formelles, et plus spécifiquement en mathématiques formelles non standard; tout ceci en adoptant l'hypothèse que ces sens sont mieux analysés en termes « éthiques ». Dans la première section, nous racontons l'histoire récente de l'analyse non standard et présentons les façons alternatives de concevoir son destin aujourd'hui. Dans la seconde section, nous rappelons le débat traditionnel accompagnant le calcul infinitésimal, et nous établissons le fait que les nouvelles perspectives apport ées par l'analyse non standard ne doivent pas être rattachées à la question de la validité ou la praticabilité du calcul leibnizien, mais à la question plus générale et « philosophique » du sens de l'infinitésimal. Dans la troisième section, nous introduisons nos concepts de « registre éthique » et de « sens-lumière » opposé au « sens-emploi », sur la base desquels nous décrivons la mutation qui fait passer des mathématiques « naïves » aux mathématiques formelles. Dans la quatrième section, nous appliquons ces concepts aux notions du fini et de l'infini, et pré tendons caractériser en tant que sens formels ou « sens-emploi » les sens non standard du fini et de l'infini. Nous concluons par un nouvel examen du possible futur de la méthode non standard. SUMMAR Y. — This text is trying to explain why the future of non standard analysis may be dependant of a general transformation of the attitudes and the goals of mathematicians. In that purpose, a reflexion is pursued about the comparative meanings of the finite and the infinite in pre-formalist mathematics, formalist mathem atics, and more specifically in formalist non standard mathematics ; this is done under the presupposition that these meanings are better analysed in « ethical » terms. In the first section, we tell the recent story of non standard analysis and present the alternative ways of conceiving its destiny today. In the second section, we recall the traditional debate of infinitesimal calculus and establish the fact that the new insights brought by non standard analysis must not be connected with the question of the validity or practicability of leibnizian calculus, but with the more general and « philosophical » question of the meaning of the infinitesimal. In the third section we introduce our concepts of « ethic register » and of « light-sense » opposed to « use-sense », on the base of wich we describe the mutation between « naive » mathematics and formal Rev. Hist. Set, 1988, XLI/2 158 Jean-Michel Salanskis ones. In the fourth section, we apply these concepts to the notions of the finite and the infinite, and pretend to characterize as formal senses or « use-senses » the non standard senses of the finite and the infinite. We conclude by a new examination of the possible future of the non standard method. L'analyse non standard est une composante fort récente du discours logico-ma thématique, dont le nom même prête encore à confusion, et dont la vocation reste aujourd'hui difficile à déter miner, bien que des éclaircissements importants soient apportés depuis quelques années. De toute évidence, la théorie invite, dans le statut problématique et transitionnel qui est le sien à l'heure actuelle, à une réflexion philosophique riche : nous nous proposons de prendre ici notre part à cette dernière, dans une direction qui correspond à notre thème personnel de recherche (la connexion des matières formelles et du registre éthique). Mais, tout d'abord, nous allons résumer la brève histoire de l'analyse non standard, au moins dans ses grandes lignes et pour autant que notre article y fait référence. I - PRESENTATION HISTORIQUE DE L ANALYSE NON STANDARD L'inventeur de l'analyse non standard est Abraham Robinson, et sa première publication à ce sujet date de 1961 (г). Cependant, la plus signifiante origine (*) qu'on puisse choisir pour la « pensée du non-standard » est tout simplement la découverte par Skolem (8), et Lôwenheim à sa suite, de la non-catégoricité de l'arithmétique formelle et donc de la nécessité de présumer, du moins si l'on adhère au discours ensembliste classique, des « modèles non stan dard » de l'arithmétique : entendez par là des systèmes présentant toutes les propriétés structurales des nombres entiers, mais com portant d'autres individus que la suite inépuisable engendrée par le procès naïf du comptage (0, 1, 2, . . .). Robinson, en effet, n'a pas fait autre chose qu'exploiter positivement ce résultat ressenti tout d'abord comme négatif par les mathématiciens et les logiciens (*) Non standard Analysis, in Selected Papers of Abraham Robinson, vol. 2 (Ams terdam : North-Holland, 1979), 3-11. (■) Une autre origine se trouve dans certains résultats d'algèbre abstraite. Voir Hourya Benis-Sinaceur, La théorie d'Artin et Schreier et l'analyse non standard d'Abraham Robinson, Archive for History of Exact Sciences, 34 : 3 (1985), 257-264. (*) Le nom de Skolem figure à la première ligne de l'article cité n. 1. La tradition de V infini 159 (les axiomes de Peano « auraient dû » déterminer à un isomorphisme près le système pour lequel ils étaient proposés) : il a eu l'idée de pratiquer un jeu mathématique où interviendraient à la fois l'hypo thétique modèle standard (celui qui coïncide avec la suite naïve collectivisée 0, 1, 2, ...) et un modèle non standard, et dans lequel on disposerait, à côté des nombres réels ordinaires, d'él éments infiniment grands et infiniment petits par rapport aux premiers. Robinson, de plus, administrait la preuve, au moins partiellement dès uploads/Management/ salanskis-non-standard.pdf