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1 Université Abderrahmane MIRA-Bejaia Faculté des sciences économiques, Commerc

1 Université Abderrahmane MIRA-Bejaia Faculté des sciences économiques, Commerciales et des Sciences de gestion Département des sciences de Gestion Polycopié Réalisée par: Dr BOUKRIF Nouara Préparée par Dr BOUKRIF Nouara Année : 2016 Cours : Régression Linéaire simple et multiple 2 Introduction générale du cours Régression linéaire simple et multiple L’objectif de la régression linéaire simple et multiple est d’apprendre à l’étudiant comment analyser un phénomène quelconque on utilisant des méthodes statistiques dites économétriques. En effet, la régression linéaire est une relation stochastique entre une ou plusieurs variables. Elle est appliquée dans plusieurs domaines, tels que la physique, la biologie, la chimie, l’économie…etc. Dans ce cours et dans un premier temps, nous allons introduire la régression linéaire où on explique une variable endogène par une seule variable exogène. A titre d’exemples, on peut citer : la relation entre la variable Prix et la variable Demande, la relation entre la variable Revenu et la variable Consommation, la relation entre la variable Investissement et la variable Croissance économique. Il s’agit de la régression linéaire régression simple. Dans un deuxième temps, nous étudierons la régression linéaire multiple qui représente la relation linéaire entre une variable endogène et plusieurs variables exogènes. Autrement dit, il s’agit de régresser linéairement une grandeur économique (variable à expliquer) sur plusieurs variables explicatives (variables exogènes). Par exemple, d’après la théorie économique, la demande d’un produit peut être expliquée par les grandeurs Prix, Revenu et Publicité. La régression linéaire simple et multiple est un outil d’analyse qui fait appel à trois domaines scientifique, à savoir :  la théorie économique ;  l’analyse statistique ;  la modélisation mathématique. Dans ce polycopié on présentera les différents modèles de régressions linéaires à savoir : le modèle de régression linéaire simple et multiple. 3 Chapitre : Le modèle de régression linéaire simple I-1 Définition du modèle de régression linéaire simple Le modèle de régression linéaire simple est une variable endogène (dépendante) expliquée par une seule variable exogène (indépendante) mise sous forme mathématique suivante : t t t X Y       1 0 , n t ........ 1  avec : t Y : la variable endogène (dépendante, à expliquer) à la date t ; t X : la variable exogène (indépendante, explicative) à la date t ; 1 0,  : les paramètres inconnus du modèles ; t  : l’erreur aléatoire du modèle ; n: nombre d’observations. I-2 Hypothèses du modèle Le modèle repose sur les hypothèses suivantes :   . paramètres aux rapport - par X en linéaire est modéle le - 6 ; aléatoire pas est n' exogène variable a 5 , 0 ) , cov( 4 ; ées autocorrél pas sont ne , si , 0 cov - 3 , ) ( 2 centrée erreur l' , 0 ) ( 1 ; exogène variable la avec corrélée pas est n' erreur l' erreurs les ; ) ticité homoscédas d' hypothèse (l' constante est erreur l' de variance la , 2 2 l x t t t t t t t t                        I-3 Estimation des paramètres par la méthode des Moindres Carrés Ordinaires (MCO) Soit le modèle suivant : t t t X Y       1 0 L’estimation des paramètres 1 0,  est obtenue en minimisant la somme des carrés des erreurs : 4             n t n t t t n t t S Min X Y Min Min 1 2 1 2 1 0 1 2    Pour que cette fonction ait un minimum, il faut que les dérivées par-rapport à 1 0 et   soient nuls.   ). ( ˆ ˆ . et puisque ˆ bien ou ˆ ˆ : ) d (2), et (1) équations des solutions les ˆ et ˆ notans En .....(2) .......... 0 ) )( ( 2 0 .....(1) .......... 0 ) 1 ( 2 0 1 1 2 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 2 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 : obtient on , (2) équation l' dans de valeur la remlaçant En (1 après ' obtient on                                                                                      n t t n t t n t t t n t t n t t n t t n t t n t t n t t n t t t n t t t t n t t n t t n t t n t t t X X X X Y X Y X n X Y n Y X n Y n X n Y X X X Y X X Y S X n Y X Y S                  D’où      2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 ˆ                           t t t n t t n t t n t t t n t n t t t n t n t t t t X X X X Y Y X n X X Y n Y X X X X X Y Y X  5 Conclusion : les estimateurs des MCO du modèle de régression linéaire simple t t t X Y       1 0 Sont : ˆ 0 X n Y    Et      2 2 1 1 1 2 2 1 1 ˆ                t t t n t t n t t n t t t X X X X Y Y X n X X Y n Y X  Différentes écritures du modèle de régression linéaire simple : Le modèle théorique ( modèle non ajusté) : t t t X Y       1 0 Le modèle estimé ( modèle ajusté) : t t t e X Y    1 0 ˆ ˆ   Avec : t Y ˆ = t X 1 0 ˆ ˆ   Et t t t t t X Y Y Y e 1 0 ˆ ˆ ˆ       t e : est le résidu du modèle. Exemple : nous disposons des données qui sont représentés dans le tableau suivant : t X 100 200 300 400 500 600 700 t Y 40 50 50 70 65 65 80 Où t Y désigne les quantités consommées et t X désigne le prix des quantités consommées. On trace un graphique des couples de données liant le prix et les quantités Consommées. Nous 6 Obtenons le nuage de points suivant : 30 40 50 60 70 80 90 0 100 200 300 400 500 600 700 800 X Y Estimation des paramètres : Nous savons que : ˆ 0 X n Y         2 2 1 1 1 2 2 1 1 ˆ                t t t n t t n t t n t t t X X X X Y Y X n X X Y n Y X  Application numérique :  0 ˆ  42 . 36 et 1 ˆ = 0.0589 Ajustement du nuage par la droite d’équation t t X Y 0.0589 42 . 36 ˆ   : désigne la droite qui ajuste le nuage de point. 7 I-calcul des espérances mathématiques des estimateurs  calcul de l’espérance de 1 ˆ  : Soit le modèle suivant : t t t e X Y    1 0 ˆ ˆ   D’après la méthode des MCO, on a :      2 2 1 1 1 ˆ         t t t n t t X X X X Y Y  En posant Y Y y et X X x uploads/Management/ secg-lessons06-regression-lineaire.pdf