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Filière : SEG (S2) Licence fondamentale Module : Probabilités Professeur : Ilha

Filière : SEG (S2) Licence fondamentale Module : Probabilités Professeur : Ilham EL HARAOUI Support de cours Année Universitaire 2021 - 2022 Université Ibn Tofail Faculté d’Economie et de Gestion Kénitra Probabilités 1 Prof. Ilham EL HARAOUI L'objectif principal de ce cours de probabilités est d’initier les étudiants inscrits en licence fondamentale (S2/SEG), aux traitements de données et plus précisément aux probabilités. A la fin du semestre, les étudiants sont censés acquérir les connaissances essentielles en probabilités qui à des degrés divers, deviennent un outil du processus de décision des gestionnaires et des agents économiques. Ce module représente aussi un prérequis et un ensemble de connaissances de base pour comprendre par la suite l'échantillonnage, l'estimation, les tests d'hypothèses et l'analyse de données multivariées. En d'autres termes, les objectifs escomptés de ce cours sont les suivants : § Pouvoir décrire des expériences aléatoires simples et calculer des probabilités ; § Reconnaître des situations de probabilités issues d'expériences aléatoires ; § Calculer la probabilité de réalisation d'un événement en gestion ; § Calculer la probabilité de la réunion, de l'intersection de deux événements et d’un événement contraire ; § Comprendre en quoi la situation de Bayes donne des informations utiles à la prise de décision, comme pour les probabilités conditionnelles ; § Débuter la construction du modèle probabiliste et s'en servir pour résoudre des problèmes concrets, § Maîtriser les différences de définition, et assimiler les nuances d'interprétation entre les concepts relatifs aux variables statistiques et ceux liés aux variables aléatoires. § Maîtriser les caractéristiques et les concepts liés aux principales lois de probabilités et reconnaître des situations concrètes et modélisables par ces lois. Le contenu de ce cours est divisé en 6 parties : 1. Introduction et concepts de base. 2. Evénements et calcul de probabilités. 3. Analyse combinatoire. 4. Probabilités conditionnelles et théorème de Bayes. 5. Variables aléatoires discrètes et continues. 6. Principales lois de probabilités. Probabilités 2 Prof. Ilham EL HARAOUI Le cours est organisé comme suit : § Cours magistral de deux heures par semaine ; § Séances de travaux dirigés ; Le support de cours est disponible avec des exercices corrigés et des examens corrigés, ainsi que des livres consultables gratuitement en ligne sur le site e-learning de l'université (Moodle), la clef d’inscription : PROBA Vous avez aussi la plateforme Classroom avec le mot de passe ono7tls Il est important de noter que ce support n'est pas une restitution du cours magistral. Lors de ce dernier, des exemples d'application accompagnent chaque concept, théorie ou définition afin de les assimiler. Une bibliographie sélective est présentée ci-dessous et peut être considérée comme un support complémentaire de ce cours. Bibliographie sélective § Anderson, Sweeney, Williams 2011, “Statistique pour l’économie et la gestion”, 3ème Edition, de boeck. § Aubert Henry 2011, “Manuel de statistique”, Ellipses Edition. § Dehon, Droesbeke et Vemandele 2008, “Eléments de statistique”, Editions de l’Université de Bruxelles et Ellipses. § Denglos 2008, “Statistiques et Probabilités appliquées”, Presses Universitaires de France. § Jourdain 2009, “Probabilités et statistique”, Ellipses Edition Marketing. § Lefebvre 2011, “Probabilités, statistique et applications”, Presses Internationales. § Roger 2000, “Statistique pour la gestion”, Edition management et sociétés. § Tribout 2007 (ou 2013), “Statistique pour économistes et gestionnaires”, Pearson Education, France. Probabilités 3 Prof. Ilham EL HARAOUI Le contenu de chacune des parties est le suivant : Partie 1 : Introduction et concepts de base_________________________________________5 1. Définition de la théorie des probabilités 2. Probabilités vs. Statistique 3. Notions de base 3.1 Expérience aléatoire 3.2 Ensemble fondamental ou univers des possibles Ω Partie 2 : Evénements et calcul de probabilités_____________________________________8 1. Evénement aléatoire 2. Catégories d'événements 3. Opérations sur les événements 4. Système complet d'événements 5. Définition de la probabilité 6. Propriétés et règles de calcul des probabilités Partie 3 : Analyse combinatoire_________________________________________________18 1. Définition de l'analyse combinatoire 2. Règle du produit 3. Permutation 4. Arrangement 5. Combinaison 6. Tirage avec remise et tirage sans remise Partie 4 : Probabilités conditionnelles et théorème de Bayes_________________________23 1. Définition de la probabilité conditionnelle 2. Loi de multiplication 3. Principales formules de probabilités conditionnelles 4. Théorème de Bayes 5. Indépendance en probabilité Probabilités 4 Prof. Ilham EL HARAOUI Partie 5 : Variables aléatoires discrètes et continues________________________________30 1. Introduction 2. Définitions 3. Typologie de variables aléatoires 4. Loi de probabilité discrète 5. Fonction de répartition 6. Paramètre d'une loi de probabilité 7. Variable aléatoire continue 8. Indépendance de variables aléatoires Partie 6 : Principales lois de probabilités_________________________________________41 1. Lois de probabilités discrètes 1.1 Loi uniforme discrète 1.2 Loi de Bernoulli 1.3 Loi binomiale 1.4 Loi de Poisson 1.5 Loi géométrique et loi de Pascal 1.6 Loi hypergéométrique 2. Lois de probabilités continues 1.1 Loi uniforme continue 1.2 Loi Normale ou de Laplace-Gauss 1.3 Loi du Khi-deux de Pearson 1.4 Loi de Student 1.5 Loi log-normale 1.6 Loi de Fisher-Snedecor 1.7 Loi exponentielle Probabilités 5 Prof. Ilham EL HARAOUI Partie 1 : Introduction et concepts de base 1. Définition de la théorie des probabilités L'origine de la théorie des probabilités est le jeu de dés. La théorie des probabilités est une science qui a pour but l'étude des expériences aléatoires. Elle vise à construire des modèles mathématiques afin d'analyser des situations impliquant l'incertitude. En d'autres termes, la théorie des probabilités fournit des modèles mathématiques qui permettent l'étude d'une expérience dont le résultat ne peut être prévu avec une totale certitude. Elle vise ainsi à définir des mesures exactes de cette incertitude par l'intermédiaire de ces modèles. 2. Probabilités vs. Statistique Dans une population dont on connaît certaines caractéristiques, on s'interroge souvent sur la qualité de l'information que l'on peut obtenir à partir d'un échantillon tiré de cette population connue. Cette question est importante en gestion, puisque bon nombre de décisions sont prises dans telles situations. L'une des questions essentielles à laquelle s'intéressent les probabilités peut se résumer de la façon suivante : comment obtenir des informations sur une population à partir d'une mesure de variables sur un échantillon. En d'autres termes : Comment à partir d'un échantillon prélevé dans une population connue, est-il possible d'obtenir un certain nombre d'informations qui la concernent ? Dans les entreprises, la pratique des études de marché relève de la même démarche. On interroge un échantillon de clients sur leur appréciation d'un produit, leurs habitudes de consommation par exemple, et l'on déduit des profils de clients en principe valides pour toute la clientèle. La théorie des probabilités cherche donc à apporter des outils et des techniques permettant de répondre scientifiquement à ces questions. Le raisonnement des probabilités est ainsi un raisonnement déductif. Par contre, le raisonnement de la statistique est un raisonnement inductif, qui consiste à prédire les caractéristiques d'une population inconnue à partir des statistiques déterminées dans un échantillon représentatif et connu de cette population. Probabilités 6 Prof. Ilham EL HARAOUI D'autre part, un gestionnaire peut faire face à des situations où la connaissance du problème traité est limitée, mais il arrive un moment où il doit choisir entre un oui et un non et ceci en utilisant la théorie des tests statistiques1. Notons que cette théorie permet une analyse qui conduit à évaluer la probabilité de prendre une mauvaise décision et donc de se tromper. Les tests statistiques indiquent de ce fait, la vérité la plus proche et dans certaines situations permettent d'évaluer le coût associé à une erreur. 3. Notions de base 3.1 Expérience aléatoire Une expérience aléatoire est tout processus ou toute action impliquant une certaine intervention humaine, qui aboutit à un résultat, qui peut être défini comme une observation suite à cette expérience. Une expérience aléatoire représente toute expérience qui satisfait aux conditions suivantes : § Son résultat dépend du hasard. Ceci dit, on ne peut pas prévoir ou prédire avec certitude le résultat de l'expérience ; § On peut décrire tous les résultats possibles avant l'expérience ; § On peut répéter l'expérience dans les mêmes conditions. Exemples d'expériences aléatoires : o Lancer une pièce de monnaie ; o Observer le nombre de pièces défectueuses dans un lot ; o Observer le nombre de clients qui entrent dans un magasin dans une période précise. 3.2 Ensemble fondamental ou univers des possibles Ω L'ensemble fondamental ou l'univers des possibles2 - qu'on note Ω - est l'ensemble de tous les résultats possibles (ou issues) d'une expérience aléatoire. Ainsi, Ω est un ensemble dont les éléments représentent tous les résultats possibles ou les événements élémentaires d'une expérience aléatoire quelconque. 1 La théorie des tests statistiques sort du contexte de ce cours. 2 Dans ce support de cours, on utilisera les deux appellations. Probabilités 7 Prof. Ilham EL HARAOUI Exemple : On lance un dé et on note le résultat obtenu. L'univers des possibles est : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bien évidemment, l'ensemble fondamental Ω associé à une expérience aléatoire peut varier en fonction des objectifs escomptés. On peut noter que la description de l'univers des possibles peut se faire d'une manière explicite ou implicite. La description explicite consiste à énumérer tous les éléments de l'ensemble fondamental Ω, par contre la description implicite consiste uploads/Management/cours-probabilities-support-de-cours.pdf