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PCSI2 N.Véron-jan 2014-LMB Chapitre 12 : Matrices - résumé de cours Dans tout l

PCSI2 N.Véron-jan 2014-LMB Chapitre 12 : Matrices - résumé de cours Dans tout le chapitre  désigne  ou , n et p deux entiers naturels non nuls. 1. L'ensemble Mn,p() 1.1 Définition et vocabulaire Déf: On appelle matrice à n lignes et p colonnes, à coefficients dans , toute famille de  indexée par  = 1;n1;p. On note A = (ai,j)(i,j) et on représente A sous forme de tableau. 1,1 1,p i,j n,1 n,p colonne j a a a ligne i a a                   Proposition 12.1: Deux matrices sont égales ssi elles ont même taille et mêmes coefficients. Notation: L'ensemble des matrices nxp à coefficients dans  est noté Mn,p() Vocabulaire:  La matrice nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, on la note 0n,p.  Si n = 1 A est une matrice ligne.  Si p = 1, A est une matrice colonne  Si n = p A est une matrice carrée d'ordre n.  On note Li(A) = (ai,1,...,ai,p) la ième ligne de A et Cj(A) = 1,j n ,j a a              la jème colonne de A. 1.2 Combinaisons linéaires de matrices Def: Soit A = (ai,j)(i,j) et B = (bi,j) (i,j), deux matrices de Mn,p() et .  On définit une loi interne d'addition en posant A+B = (ai,j+bi,j) (i,j)  On définit une loi de produit externe en posant A = (ai,j) (i,j) Proposition 12.2: Soit A, BMn,p() et ,, on a les règles de calcul suivantes :  Propriétés de l’addition  (A+B)+C = A+(B+C)  A+0n,p = 0n,p+A  A+(-A) = (-A)+A = 0n,p où –A = (-ai,j) (i,j)  A+B = B+A  Propriétés de la multiplication par un scalaire  (A+B) = A + B et (+)A = A + B  (A) = ()A  1lK.A = A  Remarque : On verra ultérieurement que l’ensemble Mn,p() muni des deux opérations précédentes est un lK-espace vectoriel.  Notation: Soit i et j deux entiers naturels. Le symbole de Kronecker ij est un entier qui vaut 1 si i = j et 0 sinon PCSI2 N.Véron-jan 2014-LMB Def: On note Ei,j la matrice (k,i.l,j)(k,l). C’est à dire la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à la ligne i et à la colonne j Proposition 12.3 : Soit AMn,p(), A s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des matrices (Ei,j)(i,j)  : p p n n i,j i,j i,j i,j i 1 j 1 j 1 i 1 A a E a E          Remarques : On verra ultérieurement que ces matrices forment une base de Mn,p() appelée base canonique. 1.3 Produit de deux matrices Def : Soit n, p, m * et A = (aij)Mn,p() et B = (bij)Mp,m(). On définit la matrice ABMn,m(lK) par AB = (ci,j) avec Pour tout (i,j)1;n1;m, c,i,j = p ik kj 1 i 1 j i 2 2 j ip pj k 1 a b a b a b ... a b       1,1 1,j 1,m k,1 k,j k,m p,1 p,j p,m 1,1 1,j 1,m 1,1 1,k 1,p i,1 ij i,m i,1 i,k i,p n,1 n,k n,p n,1 n,j n,m b b b b b b b b b c c c a a a c c c a a a a a a c c c                                                                                            Attention : Le produit matriciel a des propriétés différentes du produit de deux réels :  Le produit AB n’est pas toujours défini : il existe à condition que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B  Ce n'est pas une loi interne excepté dans le cas particulier des matrices carrées.  Le produit n'est pas commutatif, même dans le cas de deux matrices carrées.  Il existe A et B non nulles telles que AB = 0 donc la règle du produit nul est fausse.  Si AB = AC on ne peut pas en déduire que B = C. Proposition 12.4 : Soit A Mn,p(), B Mp,m(), X Mp,1() et Y M1,n()  AX = 1,1, 1,2 1,p 1 1,2, 2,2 2,p 2 p n,1 n,2 n,p a a a x a a a x x a a a                                = 1,1 1 1,p p 2,1 1 2,p p n,1 1 n,p p a x a x a x a x a x a x                           = x1C1(A) + x2C2(A) + ...+xpCp(A)  YA = y1L1(A) + y2L2(A) + ... + ynLn(A) PCSI2 N.Véron-jan 2014-LMB  j1,m, Cj(AB) = A.Cj(B)  i1,n, Li(AB) = Li(A).B  i1,n, j1,m, cij = Li(A).Cj(B) avec C = AB  Application: Ecriture matricielle d’un système linéaire: Soit (S) un système de taille np et de matrice augmentée (A|B). Si on note X = 1 2 p x x x                , on a (S)  AX = B et le système homogène associé est (H)  AX = 0 Proposition 12.5: Propriétés du produit matriciel.  AMn,p(), BMp,q(), CMq,m(), A(BC) = (AB)C  AMn,p(), B,CMp,m(), A(B+C) = AB + AC  A,BMn,p(), CMp,m(), (A+B)C = AC + BC  lK, AMn,p(), BMp,m(), (AB) = (A)B = A(B)  AMn,p(), In.A = A.Ip = A où In = 1 0 0 0 1 0 0 0 1                    = (i,j)1 ≤ i,j ≤ n Cas particulier important: Multiplication à droite et à gauche par Ei,j.  AMn,p(), Ei,jMp,m() , A.Ei,j est la matrice dont toutes les colonnes sont nulles sauf la jème colonne qui contient la ième colonne de A.  AMp,m(), Ei,jMn,p , Ei,j.A est la matrice dont toutes les lignes sont nulles sauf la ième ligne qui contient la jème ligne de A.  Lorsque le produit est bien défini, Ei,j.Ek,l = j,kEi,l 1.4 Transposition Def: Soit AMn,p() avec A = (ai,j). La transposée de A est la matrice de Mp,n() définie par tA = (aj,i)  Dans la pratique: les lignes de A sont les colonnes de tA et inversement. Proposition 12.6: Propriétés de la transposition  La transposition est linéaire c'est à dire, A,BMn,p(), ,, t(A+B) = tA + tB  AMn,p(), t(tA) = A  AMnp(), BMp,m(), t(AB) = tB tA 2. Les matrices carrées 2.1 Calculs dans Mn() Def: Une matrice nxn est appelée matrice carrée d'ordre n. L'ensemble de ces matrices est noté Mn(). PCSI2 N.Véron-jan 2014-LMB D’après le paragraphe précédent :  Toute matrice carrée s’écrit comme combinaison linéaire des matrices (Ei,j)1≤i,j≤n  Soit A et B deux matrices carrées d’ordre n, le produits matriciels AB existe et donne une matrice carrée d’ordre n. Le produit est donc une opération interne dans Mn(lK)  En général on a AB  BA. Lorsque AB = BA, on dit que A et B commutent  Pour toute matrice carrée A, AIn = InA = A Def : On peut définir des puissances entières dans Mn() de la façon suivante : AMn(), A0 = In et k, Ak+1 = Ak.A = A.Ak Proposition 12.7 : Si A et B commutent dans Mn() alors on peut appliquer les formules du binôme et de Bernoulli. m, (A+B)m = m m k m k k m k k 0 k 0 m m A B B A k k                        et Am – Bm = (A-B) m 1 k m 1 k k 0 A B     2.2 Matrices carrées particulières a) Matrices diagonales Def: Soit AMn().  A = (ai,j) est diagonale ssi (ij  ai,j = 0)  Si A est diagonale et si i1;n, aii = , A =  In est dite uploads/Marketing/ 12-matrices-resume-pdf.pdf