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Base raisonn´ ee d’exercices de math´ ematiques (Braise) ´ Equations diﬀ´ erent

Base raisonn´ ee d’exercices de math´ ematiques (Braise) ´ Equations diﬀ´ erentielles El´ ement de cours des exercices Borne sup´ erieure, borne inf´ erieure Si besoin, on pourra consulter le vocabulaire de base qui est rappel´ e en ﬁn de page. 1 Borne sup´ erieure, borne inf´ erieure D´ efinition (Borne sup´ erieure). Si l’ensemble des majorants d’une partie A de R admet un plus petit ´ el´ ement M, on dit que M est la borne sup´ erieure de A et on note M = sup (A) . Cette borne sup´ erieure est unique. D´ efinition (Borne sup´ erieure d’une fonction). Pour une fonction f d´ eﬁnie sur un intervalle I de R, on d´ eﬁnit, lorsqu’elle existe, la borne sup´ erieure de f sur I par sup I f = sup{f(x), x ∈I}. D´ efinition (Borne inf´ erieure). Si l’ensemble des minorants d’une partie A de R admet un plus grand ´ el´ ement m, on dit que m est la borne inf´ erieure de A et on note m = inf (A) . Cette borne inf´ erieure est unique. 2 Propri´ et´ e de la borne sup´ erieure Th´ eor` eme (Propri´ et´ e de la borne sup´ erieure). Toute partie non vide et major´ ee dans R admet une borne sup´ erieure. 1 Base raisonn´ ee d’exercices de math´ ematiques (Braise) ´ Equations diﬀ´ erentielles Propri´ et´ e (Caract´ erisation de la borne sup´ erieure). Soit A une partie de R non vide et major´ ee. La borne sup´ erieure de A, sup A est l’unique nombre r´ eel tel que : (i) Si a ∈A, alors a ≤sup A ; (sup A est un majorant de A) (ii) Pour tout nombre x < sup A, il existe un nombre a ∈A tel que x < a ( c’est le plus petit des majorants). On d´ eduit de (ii) une formulation tr` es utile d’une propri´ et´ e de la borne sup´ erieure. (∀ε > 0), ( ∃a ∈A) sup A −ε < a < sup A. Nous laissons au lecteur le soin de formuler une propri´ et´ e analogue pour la borne inf´ erieure. Th´ eor` eme (Propri´ et´ e de la borne sup´ erieure d’une fonction). Si f est une fonction ` a valeurs r´ eelles continue sur un intervalle [a, b] ferm´ e born´ e, alors elle est born´ ee et atteint ses bornes ; en particulier il existe c ∈[a, b] tel que sup [a,b] f(x) = f(c). 3 Exemples – Si une partie admet un plus grand ´ el´ ement, c’est sa borne sup´ erieure, par exemple, sup]0, 1] = 1. – Si a et b sont deux r´ eels tels que a < b, sup[a, b[= b. – Un exemple de borne sup´ erieure pour une fonction : sup ]0,∞[ arctan = sup{arctan x, x ∈]0, ∞[} = π 2 . On remarquera que cette borne sup´ erieure n’est pas atteinte, l’intervalle ]0, ∞[ n’´ etant ni ferm´ e ni born´ e. – Exemples de borne sup´ erieure pour une fonction continue sur un intervalle : sup [0, π 2 ] cos = sup{cos x, x ∈[0, π 2 ]} = 1 = cos(0). Par contre, pour sup ]0, π 2 ] cos = sup{cos x, x ∈]0, π 2 ]} = 1, on remarquera que cette borne sup´ erieure n’est pas atteinte sur l’intervalle consid´ er´ e. Retour en d´ ebut de page 2 Base raisonn´ ee d’exercices de math´ ematiques (Braise) ´ Equations diﬀ´ erentielles 4 Vocabulaire Rappels : Soient A une partie de R et x ∈R. – On dit que m est un majorant de A (respectivement un minorant) dans R est : ∀a ∈A, a ≤m (respectivement ∀a ∈A, m ≤a). – On dit que A est major´ ee (resp. minor´ ee) dans R si A admet au moins un majorant (resp. un minorant) dans R, c’est-` a-dire si ∃m ∈R, ∀a ∈A, a ≤m (resp. ∃m ∈R, ∀a ∈A, m ≤a). – On dit que A est born´ ee si elle est ` a la fois major´ ee et minor´ ee. – On dit que x est le plus grand ´ el´ ement (resp. le plus petit ´ el´ ement) de A, si x est un majorant (resp. un minorant) de A et si, de plus, x ∈A. – On note qu’une partie major´ ee (resp. minor´ ee) de R n’a pas n´ ecessairement de plus grand (resp. plus petit) ´ el´ ement, par exemple, ]0, 1[. Par contre, si il y a un plus grand (resp. plus petit) ´ el´ ement, celui-ci est unique et c’est la borne sup´ erieure (resp. inf´ erieure). Retour en d´ ebut de page 3 uploads/Marketing/ borne-sup-erieure-borne-inf-erieure.pdf