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Chapitre II Variable aléatoire discrète et Lois usuelles discrètes 1- Introduct

Chapitre II Variable aléatoire discrète et Lois usuelles discrètes 1- Introduction Mis sous forme numérique, le résultat d’une épreuve aléatoire se prêtera ensuite aux calculs. C’est pourquoi on souhaitera presque toujours traduire par une valeur numérique l’évènement réalisé. C’est un codage qui permet d’effectuer des calculs numériques. 2- Définition-exemples Déf. Soit (Ω, P (Ω), p) un espace probabilisé. On appelle variable aléatoire discrète sur (Ω, P (Ω), p) toute application X :Ω →R telle que X(Ω) dénombrable. Remarques : i- Si Ω est fini, alors X(Ω) est fini, donc dénombrable. Donc, dans ce cas, toute application X :Ω →R est une variable aléatoire discrète. ii- X ici désigne une application, appelée variable aléatoire (en abrégé v.a.) Quelques notations : Soit X ∈R , X :Ω →R v.a. (X< x) désigne l’ensemble (évènement) {ω∈Ω/ X(ω)< x } De même : (X>x )={ω∈Ω/ X(ω)>x} (X=x)={ω/ X (ω)=x } (x<X< y )={ω/x<X(ω)< y }( y ∈R) Exemple. Lancer de deux dés tétraédriques (à 4 faces). Donc Ω=⟦1,4 ⟧ 2; soit X :Ω →R définie par X (i , j)= ⁡(i , j). Donc X (Ω)={1,2,3,4}. Loi de probabilité de X : C’est donner les probabilités des événements (X=1);(X=2);(X=3) et (X=4). C.-à-d. P(X=1) ;P(X=2); P(X=3) et P(X=4). Pour cela, on dresse un tableau. xi 1 2 3 4 1 P(X=xi) 1/16 3/16 5/16 7/16 Exemple. P (X=3 )=P ({(1,3);(2,3); (3,1 );(3,2); (3,3)}) ¿5/16 j \ i 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 2 3 4 3 3 3 3 4 3 4 4 4 4 Variables aléatoires particuliers : a- v.a. certaine : soit c ∈R X :Ω →R (la fonction constante) ω↦c P (X=c )=1. b- v.a. indicatrice. Soit A⊆Ω , X :Ω →R définie par X (ω )=1 si ω∈A et X (ω)=0 si ω∉A . Loi de probabilité de X : xi 0 1 P(X=xi) P( ´ A) P( A) P( A) est généralement noté P et P ( ´ A )=q=1−p, donc : p+q=1(P (X=0)=qet P (X=1)=p) 3- Fonction de répartition d’une v.a. c’est la fonction définie par : F: R→[0,1 ] x↦F (x )=P(X<x) F est une fonction en escalier, constante par morceaux, continue à gauche. Exemple. X (Ω)={x1, x2,…, xn} avec x1< x2<…< xn 2 _ | | | … | | F (x1)=P ( X¿ x1)=P({ω/ X (ω )<x1})=0 Cas de la v.a. certaine : _ | Cas de la v.a. indicatrice : _ | 4- Moments d’une v.a. i- Espérance mathématique : Si X (Ω)={x1, x2,…, xn}, alors l’espérance mathématique de X, noté E(X), est défini par : E (X )=∑ i=1 n Pixi Si X (Ω) est infini X (Ω)={x1, x2,…, xi,…}, alors : E (X )=∑ i∈N Pi xi à condition que la série converge. Exemple : si X v.a. certaine, alors E (X )=c 3 1 1 c 1 q 0 1 Si X v.a. indicatrice, alors E (X )=p Rq. E (X ) a été introduit à l’origine pour traduire la notion de gain moyen ou espérance de gain. Propriétés. E (X+a)=E (X )+a E (X+ y )=E (X )+E(Y ) E (λX )= λE( X ) Avec X,Y v.a. ; λ et a réels. Ceci traduit la linéarité de l’espérance. ii- Variance. Si X est une v.a avec X (Ω)={x1, x2,…, xn}, alors la variance de X, notée V ( X), est définie par : V (X )=∑ i=1 n Pi( xi−E(X)) 2 On a : V (X )=E(X−E(X)) 2 V (X ) traduit la dispersion des valeurs de X autour de E (X ). C’est un paramètre qui mesure la dispersion. Exemple. si X v.a. certaine, alors V (X )=O Si X v.a. indicatrice, alors V (X )=pq En effet : si X=1A , alors X (Ω)={0,1},donc V (X )=q(0−p) 2+ p(1−p) 2=pq. Propriétés. i) V ( X)≥0 ii) V (X+a )=V (X) iii) V (λX )=λ 2V ( X) iv) V (X )=E ( X 2)−¿ Remarque. La propriété (iv) est très importante, elle est facile à démontrer et c’est une caractérisation utilisée en pratique (pour calculer V ( X)). Exercice. Reprenons l’exemple des deux dés tétraédriques, on a : X (Ω)={1,2,3,4} Loi de proba. de X : 1 2 3 4 P(X=xi) 1/16 3/16 5/16 7/16 E (X )= 1 16 +2. 3 16 +3. 5 16 +4. 7 16= 49 16=3.0625 4 V (X )=E ( X 2)−¿ Loi de prob. de X2 : 1 4 9 16 P(X 2=xi) 1/16 3/16 5/16 7/16 E (X 2)= 1 16 +4. 3 16 +9. 5 16 +16. 7 16 =170 16 =10.625 D’où : V (X )=10,625−(3,0625) 2. 4- Lois usuelles discrètes : Introduction: Un modèle est une simplification d’une réalité plus complexe, permettant d’analyser et comprendre un phénomène étudié. Dans le cadre d’une modélisation aléatoire, nous allons présenter le ‘’catalogue’’ des principaux modèles probabilités ou lois usuelles (discrètes). a- Loi de Bernoulli : La loi de Bernoulli s’applique à une v.a X qui ne peut prendre que les valeurs 0 et 1 avec les proba. respectifs p et q = 1-p. X={ 1 p 0q=1−p (succès, échec) b- Loi binomiale : A partir d’une suite d’expériences aléatoires de Bernoulli, supposées indépendantes entre elles, on définit une v.a X comme le nombre de réalisations de l’évènement succès après les n expériences ; on dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p ; n est évidemment le nombre d’expériences réalisées et p la probabilité de l’événement succès. On note : X →B(n, p) p(X=k)=C n k p k q n−k (la prob. d’avoir k succès) Exemple 1: Une urne contient 70 boules rouges, 20 noires, 10 blanches. On effectue 40 tirages avec remise d’une boule de l’urne. Quelle est la proba. de tirer : - Exactement 15 fois une boule rouge. - Au moins deux fois une boule rouge. 5 p(X=15)=C40 15(0,7) 15(0,3) 25 p(X ≥2)= p(X=2)+ p( X=3)+ p( X=4)+...+ p(X=40) Calculs !, donc on calcul p(X<2) p(X<2)=p(X=0)+ p(X=1) p(X ≥2)=¿ 1 – [C40 0 (0,7) 0(0,3) 40+C 40 1 (0,7)(0,3) 39] ici:' ' succès' '=' ' boule rouge' ' Caractéristiques de la loi binomiale : Supposons que X →B(n, p) , n nombres d’expériences et p probabilité de l’événement succés. Alors on a ; E(X)= np ; V(X)= npq (Pour la preuve, il suffit de remarquer que X= X1+...+X n ) ; Xi suit la de Bernoulli) Exemple 2: le nombre de résultats pile apparus au cours de n jets d’une pièce de monnaie suit une loi B(n , 1 2) p(X=k)=( n k)( 1 2) k ( 1 2) n−k = Cn k 2 n 0≤k ≤n E( X)=n 2 V(X) =n 4 c- Loi géométrique : On réalise une suite d’expériences de Bernoulli indépendantes jusqu’à obtenir le résultat succès pour la première fois. On note X=k si le résultat des k-1 premières expériences sont des échecs et le k ème résultat est un succès. On définit ainsi une v.a X : ´ A ´ A ´ A ... ´ A A→k 6 Si p est la proba de réalisation de l’événement succès dans une seule expérience de Bernoulli, alors : p(X=k )=q k−1 pq=1−p On dit alors que X suit la loi géomètrique de paramètre p. Caractéristiques: Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors on a : E(X) = 1 p ; V(X) = q p 2 ; (q=1-p) Preuve : ∑ k=0 ∞ x k= 1 1−x ∑ k =1 ∞ kx k−1= 1 (1−x) 2 ⟹∑ k=0 ∞ p(x=k)=1E(X)=∑ k =1 ∞ kpq k−1= p (1−q)= 1 p Exemple : On lance un dé cubique autant de fois jusqu’à obtenir la face numéro 6. Cherchons la probabilité d’obtenir la face numéro 6 pour la première fois au 20ème lancer. p(X=20)=( 5 6) 19 ¿) Généralisation : Soit X une v.a représentant le nombre d’expérience de Bernoulli indépendantes nécessaires pour avoir un total de 2 succès. On suppose que l’expérience est répétée autant de fois jusqu’à obtenir le nème succès après lequel on arrête . Pour avoir le rer succes à la nième exp. il est nécessaire d’avoir : - (r-1) succès après (n-1) exp - L’évènement succès à la nième exp. B= ‘’ obtenir (n-1) succès après (n-1) exp .‘’ A= ‘’obtenir 1er succès à la nième exp.’’ C= ‘’obtenir succès à la nième exp.’’ 7 P(A)=P(B ∩C¿= p( C B ) p(B)= p(B) p(C ) On pose p(C)=p On a p(B)=Cn−1 r−1 p n−1q (n−1)−(r−1)=∁n−1 r−1 p r−1q n−r P (A )=P (B )P (C )=∁n−1 r−1 p r−1q n−r. p ¿∁n−1 r−1 p rq n−r P (X=n)=∁n−1 r−1 p rq n−r X :Ω →{r,r+1,…} Notation : X →R(r , p) Caractéristiques : E (X )= r p , V (X )= rq p 2 Remaque: dans le cas de la loi binomiale, le nombre d’expériences à réaliser est fixé et le nombre de réalisations de l’évènement succès est aléatoire. Pour la loi binomiale c’est l’inverse, le nombre de succès souhaité est fixé et égal à r et le nombre uploads/Marketing/ chapitre-ii 2 .pdf