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Un continuum de consommateurs est distribué avec une densité uniforme égale à 1

Un continuum de consommateurs est distribué avec une densité uniforme égale à 1 sur un segment linéaire de longueur 1, représenté par le segment [0,1]. Pour se déplacer, le consommateur prend un moyen de transport en commun, ce qui lui occasionne un coût de transport égal à td pour une distance parcourue d. Deux firmes, localisées chacune à une extrémité de ce segment, produisent un même bien homogène. La firme 1, localisée à l’extrémité gauche, produit avec un coût marginal constant c1. La firme 2, localisée à l’extrémité droite, produit avec coût marginal constant c2. On suppose que chaque consommateur achète une unité de bien à la firme qui lui assure le prix global (ou le coût généralisé) le plus intéressant. (Remarque: les moyens de transport que les consommateurs prennent pour se déplacer, n’appartiennent à aucune des deux firmes). Les deux firmes se font concurrence en prix dans un jeu simultané à information complète et imparfaite. Le but des questions est de déterminer l’équilibre de Nash du jeu. 1) Déterminer les demandes qui s’adressent à chacune des firmes en fonction des prix p1 et p2. Sont-elles continues? 2) En déduire les expressions des profits π1 et π2 des deux firmes. Représenter graphiquement chacune des fonctions de profit πi en fonction de pi. 3) En supposant que les deux firmes ont chacune une part de marché strictement positive, déterminer le couple de prix qui vérifie les conditions de premier ordre. 4) Montrer que le couple trouvé est bien un équilibre de Nash si et seulement si |c1 – c2| < 3t. 5) Supposons maintenant que c2 > c1 +3t. Montrer que le couple de prix (p1, p2) = (c2 -t, c2) est un équilibre de Nash dans lequel la firme 2 n’ a pas de clients. 1) Déterminer les demandes qui s’adressent à chacune des firmes en fonction des prix p1 et p2. Sont-elles continues? Firme 1 Firme 2 Localisations exogènes Considérons un consommateur localisé à une distance x de la firme 1. Il est donc localisé à une distance 1 – x de la firme 2. La désutilité subie par ce consommateur lorsque il se rend à la firme 1 est (le surplus brut que le consommateur pourrait retirer du bien est supposé être égal à zéro): La désutilité subie par ce consommateur lorsque il se rend à la firme 2 est: 0 1 1 p tx    2 1 p t x   Le consommateur indifférent entre les deux firmes est localisé au point tel que: Firme 1 Firme 2 La part de marché de la firme 1 La part de marché de la firme 2   1 2 ˆ ˆ 1 p tx p t x     ˆ x   2 1 ˆ ˆ 1 tx t x p p          2 1 ˆ ˆ 1 t x x p p        2 1 ˆ ˆ 1 t x x p p       2 1 ˆ 2 1 t x p p     2 1 ˆ 2 1 p p x t    2 1 1 ˆ 2 2 p p x t     0 1 ˆ x  ˆ x   ˆ 1 x  La demande (la part de marché) adressée à la firme 1 est: Celle adressée à la firme 2 est: De manière générale, le demande de la firme i est donc:   2 1 1 1 2 1 ˆ , 2 2 p p D p p x t       2 1 1 2 2 1 2 1 1 ˆ , 1 1 2 2 2 2 p p p p D p p x t t          1 , avec , 1, 2 2 2 j i i i j p p D p p i j et i j t      On peut montrer que ces fonctions de demande peuvent ne pas être continues. On a: En résumé:   2 1 1 1 2 2 1 1 , 0 si 0 2 2 p p D p p t p p t         2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 , si 0 1 2 2 2 2 p p p p D p p p t p p t t t              2 1 1 1 2 1 2 1 , 1 si 1 2 2 p p D p p p p t t          1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 0 si 1 , si - 2 2 1 si 0 - p p t p p D p p p t p p t t p p t                    1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 0 si 1 , si - 2 2 1 si - - t p p D p p p p p p p t t p t p t                      2 1 1 1 2 2 0 si 1 , si - 2 2 1 si - - t p p D p p t t t p t                    1 2 Posons p p   On peut aussi montrer que:   2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 0 si 1 , si - 2 2 1 si 0 - p p t p p D p p p t p p t t p p t                    1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 0 si 1 , si - 2 2 1 si t p p D p p t t t p p t p p p p p                     1 2 2 1 2 1 0 si 1 , si - 2 2 1 s i t p p D p p t t t t p                   La demande de la firme 1 (par exemple) est donc: Illustration graphique:   2 1 1 1 2 0 si 1 , si 2 2 1 si t p p D p p t t t t                     2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 0 si 1 , si 2 2 1 si t p p D p p p p t p t p p t p p t t t t t                             2 p t  2 p t    1 1, D p  1 p 1 0 La firme 1 monopolise tout le marché La firme 2 monopolise tout le marché Les deux firmes se partagent le marché 1 2 1 2 p p t p p t t       2 1 2 1 2 p t p p t t p p t t t        1 2 1 2 p p t p p t t       t  t t    t  Fonction de demande discontinue La fonction de profit de la firme 1 est la suivante:        1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 0 si 1 , , si - 2 2 si 0 p p t p p p p p c D p p p c p t p p t t p c p p t                          uploads/Marketing/ exercice-corrige 2 .pdf