Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

TD n°1 – Convolution et Corrélation Eléments de CORRIGE Exercice 1 : Soit le si

TD n°1 – Convolution et Corrélation Eléments de CORRIGE Exercice 1 : Soit le signal échelon f(t)= E0 U(t), d’amplitude E0. Représenter graphiquement et calculer le produit de convolution de f(t) par lui-même (auto- convolution). SOLUTION : Pas de problème particulier. Si t < 0, il n'y a pas de recouvrement. Si t > 0, il y a recouvrement entre 0 et t. On obtient : ∫ +∞ ∞ −    < > = − = 0 pour 0 0 pour ) ( ) ( * 2 0 0 0 t t E d t U E t U E f f τ τ Exercice 2 : On définit la fonction Rect par : [ ]    + − ∈ = = sinon. 0 2 / , 2 / si 1 ) / ( ) ( τ τ τ t t Rect t f Ainsi, pour un rectangle centré sur « t=centre», de hauteur 1 et d’une largeur donnée par «largeur», on utilisera la notation : ) ( eur arg l centre t Rect − Soit les fonctions f et g définies par : f(t) = 3 Rect(t-1/2)+Rect((t-2)/2) g(t) = Rect(t/2) Trouver la convolution f* g. SOLUTION : UNIVERSITE DE LA ROCHELLE - IUP GI IUP2 – Module Acquisition et Traitement du Signal - t f*f la convolution f(t)*g(t) = g(t)*f(t) ; on a le choix de déplacer n’importe quelle fonction par rapport à l’autre. Il est plus évident de déplacer g(t) par rapport à f(t). Le produit g(t-τ).f(τ) est nul pour t<-1, donc le produit de convolution est nul sur cet intervalle. Pour -1<t<0, le chevauchement se produit dans l’intervalle 0 à t+1. Dans cet intervalle, la fonction g(t-τ)=1 et la fonction f(τ)=3, le produit de convolution est : ) 1 ( 3 ] [ 3 3 1 0 1 0 + = = + + ∫ t t d t t τ Pour 0<t<1, le chevauchement se produit aussi dans l’intervalle 0 à t+1. Dans cet intervalle, la fonction g(t-τ)=1, mais la fonction f(τ) est définie différemment sur deux parties de l’intervalle de chevauchement : f(τ) = 3 pour 0<τ<1 et =1 pour 1< τ <t+1. donc le produit simple doit être évalué aussi par intervalle et le produit de convolution est par conséquence somme de deux intégrales : t t d d t + = − + + = + ∫ ∫ + 3 ) 1 1 ( 3 1 3 1 1 1 0 τ τ Pour 1<t<2 le chevauchement se produit dans l’intervalle t-1 à t+1. Dans cet intervalle, la fonction g(t-τ)=1, mais la fonction f(τ) est définie différemment sur deux parties de l’intervalle de chevauchement donc le produit simple doit être évalué aussi par intervalle et le produit de convolution est par conséquence somme de deux intégrales : t t t t t d d t t 2 6 ) 2 ( 3 ) 1 1 ( )) 1 ( 1 ( 3 1 3 1 1 1 1 − = + − = − + + − − = + ∫ ∫ + − τ τ Pour 2<t<4, le chevauchement se produit dans l’intervalle t-1 à 3. Dans cet intervalle, les fonctions f et g valent 1. Le produit de convolution est : t t d t − = − − = ∫ − 4 ) 1 ( 3 1 3 1 τ Le produit est nul pour t>4, donc le produit de convolution est nul sur cet intervalle. Enfin, le produit de convolution est : 0 pour t<-1 3(t+1) pour -1<t<0 3+t pour 0<t<1 6-2t pour 1<t<2 4-t pour 2<t<4 0 pour t>1 d’où la représentation graphique de la convolution. Exercice 3 : Soit les fonctions f et g définies par : ) ( ) ( ailleurs 0 1 0 pour ) ( t U t g t t t f =    < < = Donner les expressions analytiques de la convolution dans les 3 régions de définition. Le produit de convolution est nul pour la région t<0 : Quand t dépasse zéro nous devons considérer la région 0<t<1: La convolution dans cette région est : 2 ] [ 2 1 ] [ ) ( ) ( ) ( 2 0 2 0 0 0 t t d t U t f t t t t = − = − = − ∫ ∫ τ τ τ τ τ τ La dernière région à considérer est t>1 où nous avons : La convolution est : 2 1 ) 2 1 ( ) 2 ) 1 ( 2 ( ) 1 ( ] [ 2 1 ] [ ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 1 1 1 = − − = − − − + − = − = − = − − − − − ∫ ∫ t t t t t t d t U t f t t t t t t t t τ τ τ τ τ τ τ τ Remarque : ce résultat est immédiat en remarquant que l'aire du triangle = B *H/2=1*1/2. Exercice 4 : Soit les fonctions f et g définies par : ) 2 / 1 ( ) ( 0 pour 0 0 pour e ) ( − =    > ≤ − = t Rect t g t t t f t β Représenter f et g puis donner les expressions analytiques de la convolution dans les différentes régions de définition. SOLUTION : Prenons l'exponentielle pour faire le déplacement : Il y a trois régions de définition pour la convolution. Pour t<0, l'exponentielle recouvre tout le rectangle. L'intégration couvre 0<u<1 où le rectangle vaut 1, et où f(t-u) est égale à u te e β β − − . Dans cette région de définition, ) 1 ( 1 0 1 0 − =       − − = − = ∗ − − − ∫ β β β β β β β β e e e e du e e g f t u t u t Pour 0<t<1, l'exponentielle couvre partiellement le rectangle : L'intégrale sera donc de t à 1 pour cette région : β β β β β β β β β β β β 1 ) ( 1 1 − = − =       − − = − = ∗ − − − − − ∫ t t t t u t t u t e e e e e e e du e e g f Quant t>1, il n'y a pas de recouvrement entre f(t-u) et g(u), donc la convolution est nulle. Exercice 5 : Estimation de la direction d’une source Soit une source que l’on peut considérer comme étant à l’infini. Il est possible, à l’aide de deux capteurs C1 et C2 (cf. fig. 1) d’estimer la direction θ de cette source. d C1 C2 θ L figure 1 Soient x1(t) et x2(t), les 2 signaux reçus par les capteurs C1 et C2. On peut considérer que le signal reçu par le capteur C2 est identique à celui reçu par le capteur C1 mais retardé du temps t0 mis par l’onde pour parcourir la différence de trajet. 1) Trouver la relation qui permet d’exprimer t0 en fonction de d, V et θ. Avec : d : distance entre les 2 capteurs V : vitesse de l’onde θ : direction de la source SOLUTION : L = V.t0 cos θ = L / d C2 C1 Figure 1 d’où V d t ϑ cos . 0 = d et V sont connus. Pour déterminer θ, il suffit de calculer t0 2) On suppose que la source est un signal x(t) ayant la forme : x(t) = a sin (ωt + ϕ) On pose : x1(t) = x(t) et x2(t) = x(t-t0) Calculer la fonction d’intercorrélation R12(τ) entre les signaux x1(t) et x2(t). Solution : ∫ − + = α α τ dt t x t x R ). ( . ) ( 2 1 12 = ∫ − + − α α τ dt t t x t x ). ( . ) ( 0 ∫ − + + − + = α α ϕ τ ω ϕ ω dt t t a t a R ). ) ( sin( . ) sin( . 0 12 = ∫ − + − + + α α ϕ τ ω ω ϕ ω dt t t t a ). ) ( sin( . ) sin( 0 2       − + + − − = ∫ ∫ − − α α α α τ ω ϕ ω τ ω dt t t dt t a R )). ( 2 2 cos( )). ( cos( 2 0 0 2 12 car sin(a).sin(b) = 0.5 .[ cos(a-b) – cos(a+b)] Comme 0 )). ( 2 2 cos( 0 = − + + ∫ − α α τ ω ϕ ω dt t t [ ] uploads/Marketing/ exercices-corriges-convolution.pdf