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2015-2016 MPSI2 du lycée Condorcet 1/22 ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 1 Les

2015-2016 MPSI2 du lycée Condorcet 1/22 ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 1 Les ensembles 1.1 Déﬁnition d’un ensemble Déﬁnition 1. Un ensemble est une collection d’objets mathématiques. Les objets qui appartiennent à un ensemble sont appelés les éléments de cet ensemble. Exemple Notons E est l’ensemble des nombres entiers pairs compris entre 0 et 10. Alors les éléments de E sont 0, 2, 4, 6, 8 et 10. On écrit E = {0,2,4,6,8,10}. Pour dire qu’un objet mathématique x est un élément d’un ensemble A, on écrit : x ∈A. Lorsque x n’est pas un élément de A, on écrit : x ∉A. Exemple Avec E = {0,2,4,6,8,10}, on a : 4 ∈E et 5 ∉E. Déﬁnition 2. Si A et B sont deux ensembles, on dit que B est une partie de A lorsque tous les éléments de B sont des éléments de A. On écrit : B ⊂A. On dit aussi que B est inclus dans A. Exemple Avec E = {0,2,4,6,8,10} et F = {10,2,8}, on a : F ⊂E. En effet, 10 ∈E, 2 ∈E et 8 ∈E. Remarque On peut dire aussi que B est un sous-ensemble de A pour dire que B est une partie de A. Déﬁnition 3. Deux ensembles A et B sont égaux lorsqu’ils ont les mêmes éléments. On écrit : A = B. Ainsi, A = B lorsque A ⊂B et B ⊂A. Exemple Si E = {0,2,4,6,8,10} et F = {6,8,10,0,2,4,6,8}, on a : E = F. Remarque L’ensemble qui ne contient pas d’éléments est noté ;. Il s’appelle « l’ensemble vide » . Pour tout ensemble A, on a : ; ⊂A ; l’ensemble vide est une partie de A. Si A est un ensemble, l’ensemble de ses parties est noté P (A). Exemple 2015-2016 MPSI2 du lycée Condorcet 2/22 Si E = {0,2} , on a : P (E) = {;,{0},{2},{0,2}}. Si A et B sont deux ensembles et si B ⊂A, on écrit A \B l’ensemble des éléments x de A tels que x ∉B. On lit : « A privé de B » ou « le complémentaire de B dans A ». On note parfois cet ensemble ∁B A. On remarque que A\B est une partie de A. Exemple Si E = {0,2,4,6,8,10} et F = {10,2,8}, on a : E \F = {0,4,6}. 1.2 Opérations sur les ensembles Si A et B sont deux ensembles, on note A∩B l’ensemble des objets mathématiques qui appartiennent à A et à B. A ∩B se lit « A inter B » ou « l’intersection de A et de B ». On remarque que A ∩B est une partie de A (et une partie de B). Exemple Si E = {0,2,4,6,8,10} et F = {3,10,2,8,8,5}, alors E ∩F = {2,8,10}. Si A et B sont deux ensembles, on note A ∪B l’ensemble des objets mathématiques qui appartiennent à A ou à B. A ∪B se lit « A union B » ou « la réunion de A et de B ». On remarque que A et B sont des parties de A ∪B. Exemple Si E = {0,2,4,6,8,10} et F = {3,10,2,8,8,5}, alors E ∪F = {0,2,3,4,5,6,8,10}. Proposition 1 (lois de Morgan). Soit A un ensemble. Pour toutes parties E et F de A, on a : ∁E∪F A = ∁E A ∩∁F A et ∁E∩F A = ∁E A ∪∁F A. Proposition 2 (distributivité de ∩par rapport à ∪et distributivité de ∪par rapport à ∩). Soit A un en- semble. Pour toutes parties E, F et G de A, on a : E ∩(F ∪G) = (E ∩F)∪(E ∩G) et E ∪(F ∩G) = (E ∪F)∩(E ∪G). Si A et B sont des ensembles, on note A × B l’ensemble dont les éléments sont les couples (x, y), où x ∈A et y ∈B. A ×B se lit « A croix B ». Exemple Si E = {2,8,10} et F = {3,8}, alors E ×F = {(2,3),(2,8),(8,3),(8,8),(10,3),(10,8)}. 1.3 Familles d’ensembles Soit I un ensemble. Pour tout élément i de I, on suppose qu’on a un ensemble noté Ei. On dit qu’on a une famille d’ensembles (Ei)i∈I. On note T i∈I Ei l’ensemble des objets mathématiques qui appartiennent à tous les ensembles Ei (pour tout i appartenant à I). T i∈I Ei se lit « l’intersection des Ei pour i dans I ». On note S i∈I Ei l’ensemble des objets mathématiques qui appartiennent à au moins un ensemble Ei (pour au moins un élément i de I). S i∈I Ei se lit « la réunion des Ei pour i dans I ». 2015-2016 MPSI2 du lycée Condorcet 3/22 On dit que la famille d’éléments (xi)i∈I appartient à l’ensemble Q i∈I Ei si pour tout i ∈I, xi appartient à Ei. Q i∈I Ei se lit « le produit cartésien des Ei pour i dans I ». Exemple Si I = {1,2,3}, E1 = {8,3,5}, E2 = {7,3} et E3 = {3,5}, alors : \ i∈I Ei = {3}, [ i∈I Ei = {8,3,5,7}, Y i∈I Ei = © (8,7,3),(8,7,5),(8,3,3),(8,3,5),(3,7,3),(3,7,5),(3,3,3),(3,3,5),(5,7,3),(5,7,5),(5,3,3),(5,3,5) ª . Notations 1. Dans l’exemple précédent, I est ﬁni ; le produit cartésien s’écrit alors plutôt E1 ×E2 ×E3. 2. Lorsque tous les Ei sont égaux à un même ensemble E, on note E I = Y i∈I Ei. On dit que E I est l’ensemble des familles d’éléments de E indexées par I. 3. Lorsque tous les Ei sont égaux à un même ensemble E et que I est un ensemble ayant un nombre ﬁni d’éléments n, on note En = E I. Les éléments de En sont appelés les n-uplets de E. Exemple E ×E ×E ×E est noté E4. 2 La logique 2.1 Langage de la logique On appelle assertion une phrase mathématique qui peut être vraie ou fausse. Exemple « p 2 est rationnel » est une assertion. Déﬁnition 4. Si A est une assertion, on note ¬A la négation de A. On lit « non A ». Par exemple, si A est vraie, alors ¬A est fausse, alors que si A est fausse, alors ¬A est vraie. A ¬A V F F V 2015-2016 MPSI2 du lycée Condorcet 4/22 Remarque ¬(¬A) = A. Déﬁnition 5. 1. Si A et B sont des assertions, on note A ∧B l’assertion qui est vraie seulement lorsque A et B sont vraies. On lit « A et B ». 2. Si A et B sont des assertions, on note A ∨B l’assertion qui est vraie lorsque A est vraie ou B est vraie. On lit « A ou B ». A B A ∧B V V V F F V F F A B A ∨B V V V F F V F F Remarque La négation de A ∨B est (¬A)∧(¬B). La négation de A ∧B est (¬A)∨(¬B). Déﬁnition 6. Si A et B sont des assertions, on note A = ⇒B l’assertion (¬A)∨B. On lit « A implique B ». A B ¬A (¬A)∨B V V V F F V F F i.e. A B A = ⇒B V V V F F V F F Remarque La négation de A = ⇒B est A ∧(¬B). Déﬁnition 7. Si A et B sont des assertions, on note A ⇐ ⇒B l’assertion (A = ⇒B) ∧(B = ⇒A). On lit « A est équivalente à B ». On remarque que A est équivalente à B lorsque A et B sont vraies ou lorsque A et B sont fausses. 2.2 Quantiﬁcateurs Dans un énoncé mathématique, le symbole ∀devant une variable se dit « pour tout » et signiﬁe que ce qui suit est vériﬁé par tous les éléments. ∀se dit aussi « quel que soit ». Exemple Pour dire qu’un réel strictement positif est positif, on écrit : ∀x ∈R,x > 0 = ⇒x Ê 0. Cette phrase peut se lire : « Pour tout réel x, si x est strictement positif, alors x est positif ». On peut aussi lire : « Quel que soit le réel x, x strictement positif implique x positif ». Dans une énoncé mathématique, le symbole ∃devant une variable se dit « il existe » et signiﬁe que ce qui suit est vériﬁé par l’un des éléments (par au moins un des éléments). Exemple 2015-2016 MPSI2 du lycée Condorcet 5/22 Pour dire qu’il existe un réel x positif qui vériﬁe x2 = 2, on écrit : ∃x ∈R+,x2 = 2. Cette phrase se lit : « Il existe un réel x positif tel que x2 est égal à 2 ». Pour nier un énoncé mathématique qui a des symboles ∀et ∃, on fait comme suit. 1. On change les symboles ∀par ∃. 2. On change les symboles ∃par ∀. 3. On change les assertions A par ¬A. Exemple La négation de E : ∀y ∈R, ∃x ∈R, x Ê 0 et f (x) = y est ¬E : ∃y ∈R, ∀x ∈R, x < 0 ou f (x) ̸= y. Dans E, il y a : 1. un symbole ∀, uploads/Marketing/ logique-1-pdf.pdf