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CHAPITRE 2: VOCABULAIRE ENSEMBLISTE 1. Ensembles 1.1. Ensembles D´ eﬁnition 1.1

CHAPITRE 2: VOCABULAIRE ENSEMBLISTE 1. Ensembles 1.1. Ensembles D´ eﬁnition 1.1. ●Un ensemble E est une collection ou groupement d’objets distincts. Ces objets s’appellent ´ el´ ements de E. ●Si E est un ensemble et si x est un ´ el´ ement de E, on dit que x appartient ` a E ou que x est dans E et on ´ ecrit x ∈E. ●Dans le cas contraire, si x n’est pas un ´ el´ ement de E, on dit que x n’appartient pas ` a E ou que x n’est pas dans E et on ´ ecrit x ∉E. ●L’ensemble vide, not´ e ∅, est l’ensemble qui ne contient aucun ´ el´ ement. ●Un ensemble r´ eduit ` a un seul ´ el´ ement est appel´ e un singleton. Exemples 1.1. ●{0,1}, {rouge,noir,bleu,jaune} et {0,1,2...} = N sont des ensembles. ●Voici une autre fa¸ con de d´ eﬁnir des ensembles : une collection d’´ el´ ements qui v´ eriﬁent une propri´ et´ e. Par exemples, {x ∈R Ò ∣x−2∣< 1}, {z ∈C Ò z5 = 1} et {x ∈R Ò 0 ≤x ≤1} = [0,1]. 1.2. Inclusion, R´ eunion, Intersection, Compl´ ementaire Soient E et F deux ensembles quelconques alors on d´ eﬁnit: a) L’inclusion de E dans F On dit que E est inclus dans F et on ´ ecrit E ⊂F si tout ´ el´ ement de E est aussi un ´ el´ ement de F. Autrement dit: pour tout x ∈E, x ∈F. On dit alors que E est un sous-ensemble de F ou une partie de F. F E b) L’´ egalit´ e de E et F On dit que E et F sont ´ egaux et on note E = F ⇔E ⊂F et F ⊂E. c) Ensemble des parties de E L’ensemble des parties de E, not´ e P(E), est l’ensemble de toutes les parties de E. Exemples 1.2. Si E = {1,2,3}, alors P({1,2,3}) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. Soient maintenant A et B deux sous-ensembles de E, on d´ eﬁnit: d) Le compl´ ementaire de A dans E Le compl´ ementaire de A dans E, not´ e ∁E A, est l’ensemble de tous les ´ el´ ements de E qui n’appartiennent pas ` a A. Autrement dit, ∁E A = {x ∈E Ò x ∉A}. On le note aussi E ∖A est juste ∁A s’il n’y a pas d’ambigu¨ ıt´ e (et parfois aussi Ac ou A). E A ∁A e) La r´ eunion de A et B La r´ eunion de A et B (lorsque A,B ⊂E), not´ e A ∪B, est l’ensemble des ´ el´ ements qui appartiennent ` a A ou ` a B. En d’autre termes, A ∪B = {x ∈E Ò x ∈A ou x ∈B}. Le ” ou ” utilis´ e ici n’est pas exclusif : x peut appartenir ` a A et ` a B en mˆ eme temps. A B A ∪B 2 A B A ∩B f) L’intersection de A et B L’intersection de A et B, not´ e A ∩B, est l’ensemble des ´ el´ ements qui ap- partiennent ` a A et ` a B. En d’autre termes, A ∩B = {x ∈E Ò x ∈A et x ∈B}. g) La diﬀ´ erence de A et B La diﬀ´ erence de A et B, not´ e A −B ou A ∖B, est l’ensemble des ´ el´ ements de A qui n’appartiennent pas ` a B. En d’autres termes, A ∖B = A ∩B = {x ∈ E Ò x ∈A et x ∉B}. A B A ∖B B ∖A Remarque 1.1. 1. E = F ⇔E ⊂F et F ⊂E. Donc pour montrer que E = F, on peut proc´ eder par double inclusion ou bien raisonner directement par ´ equivalence. 2. Il est important de bien distinguer les deux symboles ∈et ⊂: le premier concerne un ´ el´ ement appartenant ` a un ensemble, le second concerne un ensemble inclus dans un autre ensemble. Par exemple, la notation A ⊂E a la mˆ eme signiﬁcation que la notation A ∈P(E). 3. La n´ egation de E ⊂F est E ⊈F : ∃x ∈E tel que x ∉F. 4. On a toujours ∅∈P(E) et E ∈P(E). 5. ∀A,B ∈P(E), on a A ∩B ⊂A ⊂A ∪B et A ∩B ⊂B ⊂A ∪B. 1.3. Propri´ et´ es alg´ ebriques de l’intersection et la r´ eunion Soient A,B et C des parties d’un ensemble E, alors on a: ●Commutativit´ e de l’intersection : A ∩B = B ∩A. ●Associativit´ e de l’intersection : A ∩(B ∩C) = (A ∩B) ∩C (on peut donc ´ ecrire A ∩B ∩C sans ambigu¨ ıt´ e). ●A ∩∅= ∅, A ∩A = A et A ⊂B ⇔A ∩B = A. 3 ●Commutativit´ e de la r´ eunion: A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C. ●A ∪∅= A, A ∪A = A et A ⊂B ⇔A ∪B = B. ●Distributivit´ e de l’intersection par rapport ` a la r´ eunion: A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C). ●Distributivit´ e de la r´ eunion par rapport ` a l’intersection: A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C). ●∁(∁A) = A et donc A ⊂B ⇔∁B ⊂∁A. ●∁(A ∩B) = ∁A ∪∁B. ●∁(A ∪B) = ∁A ∩∁B. Preuve ●Nous montrons que A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C). x ∈A ∩(B ∪C) ⇔x ∈A et x ∈B ∪C ⇔x ∈A et (x ∈B ou x ∈C) ⇔(x ∈A et x ∈B) ou (x ∈A et x ∈C) ⇔x ∈(A ∩B) ∪(A ∩C) . ●Rappelons que: non(P et Q) ⇔non(P) ou non(Q) non(P ou Q) ⇔non(P) et non(Q) Nous montrons que ∁(A ∩B) = ∁A ∪∁B. x ∈∁(A ∩B) ⇔x ∉(A ∩B) ⇔non(x ∈(A ∩B)) ⇔non(x ∈A et x ∈B) ⇔non(x ∈A) ou non(x ∈B) ⇔x ∉A ou x ∉B ⇔x ∈∁A ou x ∈∁B ⇔x ∈∁A ∪∁B . Remarque 1.2. Soient A ≠B ∈P(E). On a les assertions suivantes. ●A ∪A = E et A ∩A = ∅. ●A ∖B est diﬀ´ erent de B ∖A. Par exemple : si A = {2,5,7,8} et B = {1,2,4,7,9} alors A −B = {5,8} alors que B −A = {1,4,9}. 4 1.4. Partition d’un ensemble D´ eﬁnition 1.2. Soit A un ensemble non vide. Soit P ⊂P(A). On dit que P est une partition de A si: ●pour tout Y ∈P, Y ≠∅; ●pour tous Y ≠Y ′ ∈P, Y ∩Y ′ = ∅; ●A = ∪P. Exemples 1.3. Soit : E = {a,b,c,d} et A1 = {a}, A2 = {b,c}, A3 = {d}, on a {A1,A2,A3} est une partition de E. 1.5. Produit cart´ esien D´ eﬁnition 1.3. Soient E et F deux ensembles. Le produit cart´ esien, not´ e E × F, est l’ensemble des couples (x,y) o` u x ∈E et y ∈F. Exemples 1.4. ●R2 = R × R = {(x,y) Ò x,y ∈R}. ●[0,1] × R = {(x,y) Ò 0 ≤x ≤1,y ∈R}. ●[0,1] × [0,1] × [0,1] = {(x,y,z) Ò 0 ≤x ≤1,0 ≤y ≤1,0 ≤z ≤1}. Remarque 1.3. Plus g´ en´ eralement, soient n ∈N, n ≥2 et A1,...,An n sous- ensembles de E. Le produit cart´ esien A1 × A2 × ... × An est l’ensemble des listes (x1,x2,...,xn), appel´ ees n-uplets, o` u ∀i ∈{1,...,n}, xi ∈Ai. On a donc : A1 × A2 × ... × An = {(x1,x2,...,xn) Ò ∀i ∈{1,...,n},xi ∈Ai}. On note An = A × A × ... × A. Proposition 1.1. Soient A,B,C et D des parties d’un ensemble E. On a les deux assertions suivantes. ●(A × C) ∪(A × D) = A × (C ∪D). ●(A × C) ∩(B × D) = (A ∩B) × (C ∩D). Preuve Nous montrons que (A × C) ∪(A × D) = A × (C ∪D). (x,y) ∈(A × C) ∪(A × D) ⇔(x,y) ∈(A × C) ou (x,y) ∈(A × D) ⇔(x ∈A et y ∈C) ou (x ∈A et y ∈D) ⇔x ∈A et (y ∈C ou y ∈D) ⇔(x,y) ∈A × (C ∪D) . Remarque 1.4. En g´ en´ eral (A×C)∪(B×D) n’est pas ´ egale ` a (A∪B)×(C∪D). Exemples 1.5. Dans R2, ([0,1] × [0,1]) ∪([−1,0] × [−1,0]) est diﬀ´ erent de l’ensemble [−1,1]×[−1,1], car par exemple (−1,1) ∈[−1,1]×[−1,1] et (−1,1) ∉ ([0,1] × [0,1]) ∪([−1,0] × [−1,0]). 5 2. Application D´ eﬁnition 2.1. Soient E et F deux ensembles. On dit que f est une application de E dans F. Lorsque pour tout ´ el´ ement x de E, f associe un unique ´ el´ ement de F, appel´ e image de x par f et not´ e f(x). E est l’ensemble de d´ epart de f et F est l’ensemble d’arriv´ ee de f. f ∶ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ E Ð →F x Ð →f(x) Lorsque y est un ´ el´ ement de F, on dit que x est un ant´ ec´ edent de y par f lorsque y = f(x). On note F(E,F) (ou F E, ou A(E,F)) l’ensemble uploads/Marketing/ chapitre-vocabulaire-ensembliste.pdf