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LYCEES DE KEBEMER Fiche de Révisions TS2 Année scolaire 2021/2022 Exercice 1 So

LYCEES DE KEBEMER Fiche de Révisions TS2 Année scolaire 2021/2022 Exercice 1 Soit l’équation (E) : z4 = 28 −96i 1) Résoudre l’équation z4 = 1 2) Montrer que z0 = 3 −i est une solution de (E) 3) En déduire la résolution de (E) 4) Soient A(3-i), B(-3+i), C(1+3i) et D(-1-3i) a) Placer A, B, C et D sur le plan complexe. 0.5pt b)Donner la mesure principale de l’angle (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ; AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 0.75pt 5) Soit une suite de points Mn(zn)tel que { Z0 = −2i Zn+1 = (1 −i)Zn + 1 + i et Un = Zn −1 + i a) Calculer Z1 et Z2 b) Montrer que (Un) est une suite géométrique de raison à préciser. c) Montrer que pour tout n, Un = 2 n+1 2 e−(n+3)π 4 i d) En déduire Zn en fonction de n. Exercice 2 Soit f la fonction définie sur IR par  2 2    x e x x f On note Cf l courbe représentative de f dans un repère orthonormal   j i O , , On prendra 5cm comme unité PARTIE A 1) Déterminer la limite de   en f 1) Vérifier que pour tout réel x non nul                   x e e x x f x 2 2 1 2 2 .En déduire la limite en   2) Dresser le tableau de variation de f 3) Montrer que la droite x y D  : est asymptote en   .Etudier la position relative de D et Cf 4) Etudier la branche infinie de Cf en   5) On A le point de la courbe d’abscisse 1. Déterminer une équation de la tangente T en A 6) On note   5 , 0 ; 0  I démontrer que  0  x f admet dans I une solution unique a .Donner une valeur approchée à 1 10 prés de a 7) Construire D Cf , et T PARTIE B On définit la suite   n u définie par        2 2 1 0 0 n u n e u u 1) Soit g la fonction définie sur IR par  2 2   x e x g .démontrer que l’équation  0  x f est équivalente à  x x g  .En déduire  a g 2) Démontrer que  e x g I x 2     3) Démontrer que  I x g I x    , 2) En utilisant l’inégalité des accroissements finis démontrer que a u e a u IN n n n       2 , 1 en déduire que n n e a u         2 et que   n u converge vers un réel à déterminer. 3) Déterminer le plus petit entier naturel 5 10  a u que tel n n Exercice 3 Un élève se rend à l’école en bus. S’il est à l’heure il, prend le bus de ramassage gratuit mis à la disposition de l’école, s’il est en retard il prend le bus de la ville, il lui coûte 150f. Si l’élève est à l’heure un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est 5 1 Si l’élève est en retard un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est 20 1 . Pour tout entier naturel non nul n, on appelle Rn l’événement : « l’élève est en retard le jour n ». On note pn la probabilité de Rn et qn celle de Rn On suppose que p1 = 0 . 1. a. Déterminer les probabilités conditionnelles : pRn(Rn+1) et pRn (Rn+1) . b. Déterminer p( Rn+1  Rn) en fonction de pn et p(Rn+1  n R ) en fonction de qn. c. Exprimer pn+1 en fonction de pn et de qn d. En déduire que pn+1 = 1 5 − 3 20 pn. 2) Pour tout entier non nul n, on pose vn = pn − 4 23 a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison − 3 20 . b. Exprimer vn puis pn en fonction de n. c. justifier que la suite pn est convergente et calculer sa limite. Exercice 4 Un joueur de tennis effectue une mise en jeu. Pour cela, il a droit à deux tentatives : un premier service suivi, s’il n’est pas réussi , d’un second service.La probabilité que le premier service réussisse est égale à 3 2 . S’il a échoué, la probabilité que le deuxième service réussisse est égale à 5 4 .Lorsque les deux services échouent, il a « double faute ». Sinon, la mise en jeu est réussie. 1°) a) Donnez la probabilité que le second service ne soit pas réussi sachant que le premier service n’est pas réussi. b) Montrer que, sur une mise en jeu, la probabilité que ce joueur fasse une double faute est égal à 15 1 . c) Déduisez-en la probabilité que la mise en jeu soit réussie. 2°) Ce joueur fait un pari avec un de ses camarades. Il effectue dix mises en jeu successives (de manière indépendante). S’il réussi dix ou neuf mises en jeu, il gagne 10 F par mise en jeu réussi. Sinon il perd 50 F. On appelle X la variation aléatoire représentant la somme gagnée (comptée positivement), ou perdue (comptée négativement), par ce joueur. a) Exprimer en fonction de  } 10 ..., , 2 , 1 , 0 (  k k ) la probabilité Pk que le joueur réussisse k mises en jeu. b) Calculer : ) 50 ( ); 90 ( ); 100 (     x p X p X p . c) Calculer l’espérance mathématique E(X) et V(X). On donnera les résultats à 10-2 prés par défaut. Exercice 5 Les deux parties A et B suivantes sont indépendantes. On considère un dé à 6 faces tel qu’une face est marquée 1, deux faces sont marquées 2 et trois faces sont marquées 3. A)- Chaque face a la même probabilité d’apparaître. 1)-On lance deux fois de suite ce dé (on admet que les deux lancers sont indépendants). Soit X la variable aléatoire qui, à chaque couple de numéros (obtenus par deux lancers successifs) fait correspondre la somme de ces numéros. a) Déterminer la loi de probabilité de X. (1 pt) b) Calculer E(X) et V(X). (0,5 pt) c) Déterminer sa fonction de répartition F et construire sa courbe. (0,5 pt) 2)- On lance 5 fois ce dé. Quelle est la probabilité d’avoir au moins une fois un chiffre pair ? (1 pt) B)- On lance deux fois de suite ce dé : les faces ont la même probabilité d’apparaître au 1er lancer mais au 2è lancer ,les probabilités P1, P2 et P3 d’avoir les numéros 1, 2, 3 sont définies par : - si 1 apparaît au 1er lancer, les faces ont la même probabilité d’apparaître au 2è lancer ; - si 2 apparaît au 1er lancer, les probabilités P1, P2 et P3 du 2è lancer sont dans cet ordre les termes d’une suite arithmétique de raison r = 1 4 ; - si 3 apparaît au 1er lancer, les probabilités P1, P2 et P3 du 2è lancer sont proportionnelles respectivement aux nombres 1, 2, 3 . On désigne par Ak l’événement : « Avoir le chiffre N° k au 1er lancer » et par Bk, l’événement : « Avoir le chiffre N° k au 2è lancer » avec 1 ≤ k ≤ 3. 1) Calculer les nombres P1, P2 et P3 dans chaque cas ( puis illustrer par un arbre de probabilités ). 2) Calculer p(B1) 3) Calculer p(A2/B1) Exercice 6 1)a) Résoudre dans ℂ l’équation d’inconnue z suivante : 4z2 −(8 −6i)z + 1 −5i = 0 b) Résoudre dans ℂ l’équation : z2 + 2√3z + 4 = 0. c) Résoudre dans ℂ\{i} l’équation : z + i z − i = 1 + i 1) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal (O, u ⃗ , v ⃗ ), on donne les points A, B et C d’affixes respectives : zA = −√3 + i; zB = −√3 −i et zC = 2 + i a) Placer les points A, B et C dans le repère (O, u ⃗ , v ⃗ ). b) Montrer que : zA−zC zA−zB = √3+2 2 eiπ 2 c) En déduire la nature du triangle ABC. d) Déterminer l’affixe du point Ω, centre du cercle circonscrit au triangle ABC et le rayon R de ce cercle. 2) Soit f la rotation de centre D (1 −√3 2 ) qui transforme B en A. a) Donner une écriture complexe de f. b) Déterminer l’affixe du point E image de C par f. 3) uploads/Marketing/ rev-2022-ts2.pdf