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Ecole Mohammadia d'Ingénieurs Département Génie Industriel Travaux dirigés de m

Ecole Mohammadia d'Ingénieurs Département Génie Industriel Travaux dirigés de méthodes numériques Série 2 : Résolution numérique d'équations non linéaires Corrigé 1. Méthode du point fixe modifiée : 1.1. L'itération à l'aide de la méthode du point fixe s'écrit : 1 2 1 − = + n n x x En prenant comme valeur initiale x0 = 0, on a : x0 x1 x2 x3 x4 x5 0 -1 0 -1 0 -1 La méthode du point fixe diverge, les valeurs des itérées oscillent entre 0 et -1. 1.2. On pose ) ) ( ( ) ( x x g x x − + = α ϕ 0 ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( = − ⇔ − + = ⇔ = x x g x x g x x x x α α ϕ Ayant α ≠ 0 on doit donc avoir 0 ) ( = −x x g et donc x x g = ) ( , et l'on peut donc conclure que la solution de l'équation x x = ) ( ϕ est la même que celle de l'équation x x g = ) ( à résoudre. 1.3. La meilleure convergence de la méthode du point fixe étant obtenue lorsque la dérivée de la fonction est nulle, donner l'expression de α vérifiant cette condition pour la fonction ϕ. En imposant à la fonction ϕ de s'annuler pour x = xs, on peut donc écrire : 0 ) ( ' = s x ϕ Or ) 1 ) ( ' ( 1 ) ( ' − + = x g x α ϕ , on en tire : ) 1 ) ( ' /( ) 1 ) ( ' ( − − = x g x ϕ α Et donc pour 0 ) ( ' = s x ϕ , on a : ) 1 ) ( ' /( 1 − − = s x g α Etant donné que xs est la valeur recherchée, une telle condition ne peut donc être imposée à a. On prend alors : ) 1 ) ( ' ( / 1 − + − = n x g α 1 ) ( ' ) ( ) ) ( ( ) ( 1 − − − = − + = = + n n n n n n n n n x g x x g x x x g x x x α ϕ On remarquera qu'en posant f(x)=g(x)-x, f'(x)=g(x)-1, et cette méthode est donc équivalente à la méthode de Newton. 1.5. Appliquer la méthode du point fixe modifiée pour résoudre la même équation dans les mêmes conditions. Conclure x g(x) g'(x) α g(x)-x 0 -1 0 1 -1 -1 0 -2 0,33333333 1 -0,666667 -0,555556 -1,333333 0,42857143 0,11111111 -0,619047 -0,616780 -1,238095 0,44680851 0,00226757 -0,618034 -0,618033 -1,23607 0,44721341 1,0265E-06 -0,618034 -0,618034 -1,236068 0,4472136 2,1072E-13 1.6. Pour 2 2 − = x x x g(x) g(x)-x x g(x) g'(x) α g(x)-x 0 -2 -2 0 -2 0 1 -2 -2 2 4 -2 2 -4 0,2 4 2 2 0 -1,2 -0,56 -2,4 0,29411765 0,64 2 2 0 -1,011765 -0,976332 -2,023529 0,3307393 0,03543253 2 2 0 -1,000046 -0,999908 -2,000092 0,33332316 0,00013733 2 2 0 -1 -1 -2 0,33333333 2,0955E-09 2 2 0 -1 -1 -2 0,33333333 0 2 2 0 -1 -1 -2 0,33333333 0 Les deux variantes de la méthode convergent vers deux solutions différentes. Elles ne sont donc pas équivalentes. 2. Méthode de Newton : 3 3 2 3 ) ( ' ) ( 2 3 1 − + − − = − = + n n n n n n n n x x x x x f x f x x x0=-2.2 x0=1.2 x f(x) f'(x) x f(x) f'(x) -2,2 -2,048 11,52 1,2 0,128 1,32 -2,02222222 -0,20297394 9,26814815 1,1030303 0,03293942 0,65002755 -2,00032206 -0,00289917 9,00386505 1,05235642 0,0083671 0,32236209 -2,00000007 -6,2214E-07 9,00000083 1,02640081 0,00210941 0,16049589 -2 -2,8422E-14 9 1,01325773 0,00052963 0,08007371 -2 0 9 1,00664342 0,0001327 0,03999291 1,00332537 3,3211E-05 0,01998542 1,00166361 8,3074E-06 0,00998995 1,00083203 2,0774E-06 0,00499428 1,00041607 5,1943E-07 0,00249697 1,00020805 1,2987E-07 0,00124844 1,00010403 3,2468E-08 0,00062421 1,00005202 8,117E-09 0,0003121 1,00002601 2,0293E-09 0,00015605 1,000013 5,0732E-10 7,8025E-05 1,0000065 1,2683E-10 3,9012E-05 1,00000325 3,1708E-11 1,9506E-05 1,00000163 7,9268E-12 9,7531E-06 1,00000081 1,9815E-12 4,8766E-06 1,00000041 4,956E-13 2,4387E-06 1,0000002 1,2412E-13 1,2193E-06 1,0000001 3,0864E-14 6,0849E-07 1,00000005 7,7716E-15 3,0416E-07 1,00000003 1,9984E-15 1,5085E-07 1,00000001 0 7,1361E-08 1,00000001 0 7,1361E-08 On remarque que pour arriver à des convergences similaires, la deuxième racine, qui est d'ordre de multiplicité 2 nécessite beaucoup plus que la deuxième qui, elle, est une racine simple (Voir exercice suivant). 3. Convergence : Si une suite (xn)n>0 converge vers xs, on a alors : 0 lim lim = = − →∞ →∞ n n s n n e x x où en = xn-xs représente l'erreur. S'il existe deux constantes C>0 et p telles que : C e e x x x x p n n n p s n s n n = = − − + →∞ + →∞ 1 1 lim lim on dit alors que la convergence de la suite est d'ordre p avec une constante d'erreur asymptotique C . 3.1. Convergence de la méthode du point fixe : D'après le théorème de la moyenne, ] [ b a, ∈ ξ tel que ) )( ( ' ) ( ) ( s n n s n x x g x g x g − = − ξ Or 1 ) ( + = n n x x g s s x x g = ) ( et l'on a donc : ) )( ( ' 1 s n n s n x x g x x − = − + ξ , d'où : ) ( ' ) ( ' lim lim 1 s n n s n s n n x g g x x x x = = − − →∞ + →∞ ξ la convergence de la méthode du point fixe est donc d'ordre 1 ou linéaire. 3.2. Convergence de la méthode de Newton : On pose ) ( ' ) ( ) ( x f x f x x g − = Si xs est la solution recherchée, on doit avoir f(xs) = 0 et f'(xs) ≠ 0. Montrer, en utilisant un développement de Taylor approprié, que l'on peut écrire : ) ( " ! 2 2 1 ξ g e x x n s n + = + où s n n x x e − = et ] , [ ou ] , [ n s s n n x x x x ∈ ξ ) ( " ! 2 ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( 2 n s n s s n s n g x x x g x x x g x g ξ − + − + = Or ( ) ( ) 2 2 ) ( ' ) ( " ). ( ) ( ' ) ( " ). ( ) ( ' ). ( ' 1 ) ( ' x f x f x f x f x f x f x f x f x g = − − = et ayant 0 ) ( = s x f , il s'en suit que 0 ) ( ' = s x g et l'on a donc : ) ( " ! 2 ) ( 2 1 n s n s n g x x x x ξ − + = + On en tire : ) ( " ! 2 ) ( 2 1 n s n s n g x x x x ξ − = − + et ) ( " ! 2 1 2 1 2 1 n n n s n s n g e e x x x x ξ = = − − + + et ) ( " ! 2 1 ) ( " ! 2 1 lim lim 2 1 s n n n n n x g g e e = = →∞ + →∞ ξ La convergence de la méthode est donc d'ordre 2, on parle de convergence quadratique. 3.3. Méthode de Newton : Cas d'une racine d'ordre de multiplicité supérieur à 1 Soit p un entier supérieur ou égal à 2, on dit que f possède une racine xs de multiplicité d'ordre p si 0 ) ( ... ) ( ) ( ' ' ) ( ' ) ( ) 1 ( ) 3 ( = = = = = = − s p s s s s x f x f x f x f x f 0 ) ( ) ( ≠ s p x f Dans ce cas, f peut s'écrire sous la forme ) ( ) ( ) ( x h x x x f p s − = 3.3.1. Montrer que p x g s 1 1 ) ( ' − = On a : ) ( ' ) ( ) ( x f x f x x g − = et donc ( ) 2 ) ( ' ) uploads/Marketing/ td2-corrige-pdf.pdf