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ATS 2020-2021 Devoir de mathématiques n°3 Devoir de mathématiques n°3. Maison.

ATS 2020-2021 Devoir de mathématiques n°3 Devoir de mathématiques n°3. Maison. Corrigé Exercice 1 a. Si ⃗ R est le vecteur nul alors ⃗ V (M ) =⃗ G pour tout point M, donc ⃗ V est une application constante. b. Soient les points M et N quelconques. ⃗ V (M ) =⃗ G + ⃗ R ∧⃗ A M =⃗ G + ⃗ R ∧(⃗ A N +⃗ N M ) donc ⃗ V (M ) =⃗ G + ⃗ R ∧⃗ A N + ⃗ R ∧⃗ N M donc ⃗ V (M ) =⃗ V (N ) +⃗ M N ∧⃗ R . C.Q.F.D. c. Soient les points M et N quelconques. ⃗ M N .⃗ V (M ) =⃗ M N .(⃗ V ( N) +⃗ M N ∧⃗ R) =⃗ M N .⃗ V ( N) +⃗ M N .(⃗ M N ∧⃗ R) . Or par définition, ⃗ M N ∧⃗ R est orthogonal à ⃗ M N , donc ⃗ M N .(⃗ M N ∧⃗ R) = ⃗ 0 , donc ⃗ M N .⃗ V (M ) =⃗ M N .⃗ V ( N) . C.Q.F.D. Le terme « équiprojectif » peut se comprendre dans la mesure où le produit scalaire ⃗ M N .⃗ V (M ) fait intervenir la projection orthogonale du vecteur ⃗ V (M ) sur la direction de ⃗ M N . Donc la propriété démontrée signifie que les moments en M et en N se projette de la même façon sur la direction de ⃗ M N . d.1. Avec les notations de l’énoncé, on a ⃗ V (M ) =⃗ G1 +⃗ G2 + ⃗ R ∧⃗ AM . Comme les vecteurs ⃗ R ∧⃗ A M et ⃗ G2 sont orthogonaux à ⃗ R et que ⃗ G1 est colinéaire à ⃗ R , ⃗ V (M ) est colinéaire à ⃗ R si et seulement si ⃗ G2 + ⃗ R ∧⃗ A M = ⃗ 0 , soit ⃗ G2 =⃗ AM ∧⃗ R puisque le produit vectoriel est antisymétrique. d.2. Implication directe. Vu le d.1., si ⃗ V (M ) est colinéaire à ⃗ R alors ⃗ G2 =⃗ AM ∧⃗ R donc ⃗ R ∧⃗ G2 = ⃗ R ∧(⃗ A M ∧⃗ R) donc ⃗ R ∧⃗ G2 =⃗ R 2⃗ A M −⃗ R.⃗ A M ⃗ R donc ⃗ A M = 1 ⃗ R 2⃗ R ∧⃗ G2 + ⃗ R.⃗ AM ⃗ R 2 ⃗ R donc il existe un réel k tel que ⃗ A M = 1 ⃗ R 2⃗ R ∧⃗ G2 + k .⃗ R . Réciproque. S’il existe un réel k tel que ⃗ A M = 1 ⃗ R 2⃗ R ∧⃗ G2 + k .⃗ R , alors ⃗ R ∧⃗ A M = ⃗ R ∧( 1 ⃗ R 2⃗ R ∧⃗ G2 + k .⃗ R) , donc ⃗ R ∧⃗ A M = 1 ⃗ R 2((⃗ R .⃗ G 2 )⃗ R −⃗ R 2⃗ G2 ) , puisque ⃗ R ∧⃗ R = ⃗ 0 . Or ⃗ R .⃗ G2 = 0 car ces vecteurs sont orthogonaux. Donc ⃗ R ∧⃗ A M = −⃗ G2 soit ⃗ G2 =⃗ AM ∧⃗ R donc avec la réciproque du d.1. on a la conclusion. d.3. Vu le d.2., en prenant k = 0 (par exemple !), on a un point de l’ensemble cherché défini par ⃗ AM 0 = 1 ⃗ R 2⃗ R ∧⃗ G 2 . Alors pour M, un point quelconque de cet ensemble, il existe un réel k tel que ⃗ A M = 1 ⃗ R 2⃗ R ∧⃗ G2 + k .⃗ R et donc ⃗ M 0 M =⃗ AM −⃗ AM 0 = k⃗ R . Donc l’ensemble cherché est la droite dirigée par ⃗ R passant par M 0 . d.4. Soit un point quelconque M appartenant à l’axe central. Il existe donc un réel k tel que ⃗ A M = 1 ⃗ R 2⃗ R ∧⃗ G2 + k .⃗ R donc ⃗ V (M ) =⃗ G + ⃗ R ∧⃗ A M =⃗ G + ⃗ R ∧( 1 ⃗ R 2⃗ R ∧⃗ G2 + k .⃗ R) , donc Lycée Louis Rascol - 1 - Pierre López ATS 2020-2021 Devoir de mathématiques n°3 ⃗ V (M ) =⃗ G + 1 ⃗ R 2((⃗ R .⃗ G2 )⃗ R −⃗ R 2⃗ G2 ) puisque ⃗ R ∧⃗ R = ⃗ 0 . Et comme ⃗ R .⃗ G2 = 0 , ⃗ V (M ) =⃗ G −⃗ G2 =⃗ G1 , qui est indépendant de M. C.Q.F.D. e. Exercice 2 Partie A a. Dans le graphique ci-dessous, la courbe est en vert, en bleu et en rouge. b. Au vu du graphique on peut conjecturer qu’il existe une valeur pour a avec telle que le nombre de point d’intersection de et est égal à 2 pour , est égal à 1 pour , et, est égal à 0 pour . Partie B On considère la fonction définie sur l’intervalle par . a. Pour étudier les points d’intersection des courbes et on cherche les nombres x tels que ce qui revient donc à chercher les nombres x tels que . Lycée Louis Rascol - 2 - Pierre López ATS 2020-2021 Devoir de mathématiques n°3 b. En écrivant , on a . Directement, . , ; donc équivaut à qui équivaut à . Et comme x est positif, ceci équivaut à Donc est croissante (strictement) sur et décroissante (strictement) sur . On remarquera qu’il en résulte que la fonction admet un maximum en , la valeur du maximum étant égale à . c. Vu l’étude des variations ci-dessus, l’équation n’aura pas de solution si , c’est-à-dire si , elle aura une seule solution pour , et elle aura deux solutions pour , ce qui donnera respectivement, 0, 1 et 2 points d’intersection entre les courbes et . A titre de vérification, une estimation de est 0,2, ce qui est en accord avec ce qui a été dit dans la partie A (dans le graphique, la courbe en noir correspond à cette valeur de a). Exercice 3 (feuille exercice n°38 b et c) a. existe (ou est défini) si et seulement si (à cause de arcsin(x)) et (à cause du quotient avec la racine carrée), soit pour . Donc l’ensemble de définition de la fonction f est . f est trivialement dérivable sur , et , Donc , avec , donc f est (strictement) décroissante sur . Donc, , , et comme , donc , . C.Q.F.D. Remarque. De fait on a en plus le résultat suivant : , . b. Pour démontrer que : , , on considère la fonction g de la variable réelle x définie par . g est trivialement dérivable sur , et , . Lycée Louis Rascol - 3 - Pierre López ATS 2020-2021 Devoir de mathématiques n°3 Il en résulte que cette dérivée est positive sur , ne s’annulant qu’en 0, et donc la fonction g est croissante sur et comme , , donc , . C.Q.F.D. Exercice 4 a. En notant l’angle AMC, on a directement avec la trigonométrie du triangle rectangle : et . On remarquera que vu le contexte x est un nombre réel positif (non nul). Or avec la formule , on en déduit : qui équivaut à qui équivaut à qui équivaut à qui équivaut à , puisque . C.Q.F.D. b. On définit la fonction f pour par . Cette fonction est trivialement définie sur Rq. On remarquera qu’ici on n’a pas besoin d’exclure la valeur 0. De plus, si on étudiait cette fonction sur on pourrait remarquer qu’elle est impaire (à cause de l’imparité de la fonction arctan). Elle est tout aussi trivialement dérivable sur et en définissant la fonction u par , la dérivée de f est définie par donc le signe de la dérivée de f ne dépend que du signe de qui est définie par : . Le signe de u’ ne dépend donc que de qui, sur , est positif si et seulement si , (on remarquera que toutes les constantes sont positives). D’où le tableau de variations : On en déduit que « l’angle de tir » est maximal pour . Remarque. On dit que le nombre est la moyenne géométrique des nombres et d, dans la mesure où il correspond à la dimension du côté d’un carré de même aire qu’un rectangle des dimensions de côtés et d. Application numérique : et (soit 7°), au dernier chiffre significatif près. Lycée Louis Rascol - 4 - Pierre López ATS 2020-2021 Devoir de mathématiques n°3 c. Une approche plus géométrique est de considérer le cercle circonscrit au trois points A, B et M non alignés (x étant supposé non nul). Avec les notations de la figure suivante : une propriété de géométrie uploads/Marketing/ d-3-corrige.pdf