Lycée Leconte de Lisle Les torseurs 1 Définition On considère un champ de vecteu
Lycée Leconte de Lisle Les torseurs 1 Définition On considère un champ de vecteurs, noté # — M, qui à tout point M associe le vecteur # — MM. Les propositions suivantes sont alors équivalentes : – Le champ de vecteurs # — M est équiprojectif . – Il existe un unique vecteur # — R tel que : ∀M, N : # — MM = # — MN + # — R ∧# — NM (1) – Le champ de vecteurs # — M est un torseur ; – de résultante : # — R, – de moment au point M : # — MM. # — R et # — MM sont appelés les éléments de réduction du torseur au point M. Remarques : – le champ des vecteurs vitesse dans un solide est un torseur (appelé torseur cinématique) : ∃! # — Ω1/0 tq. ∀M, N : # — V (M ∈1/0) = # — V (N ∈1/0) + # — Ω1/0 ∧# — NM – le champ des vecteurs accélération dans un solide n’est pas un torseur : ∀M, N : # — Γ (M ∈1/0) = # — Γ (N ∈1/0) + d # — Ω1/0 dt |R0 ∧# — NM ... + # — Ω1/0 ∧( # — Ω1/0 ∧# — NM) 2 Notation On note un torseur définit en N par le couple de vecteurs # — R et # — MN : n T o = # — R # — MN N = Rx Ry Rz Mx My Mz B N 6 coordonnées de # — R dans B 6 coordonnées de # — MN dans B Propriété : le moment d’un torseur peut être déterminé en tout point. On a donc : ∀M, N : n T o = # — R # — MM M = # — R # — MN N (avec : # — MM = # — MN + # — R ∧# — NM) 3 Opérations sur les torseurs Automoment d’un torseur : on appelle automoment d’un torseur le produit scalaire de ses éléments de réduction. L’automoment d’un torseur est un invariant scalaire. V5BC 1 / 6 Lycée Leconte de Lisle n T o = # — R # — MM M ∀M, N : # — R · # — MM = # — R · # — MN Soit deux torseurs : n T1 o = # — R1 # — M1M M et n T2 o = # — R2 # — M2N N Égalité de deux torseurs : n T1 o = n T2 o ssi # — R1 = # — R2 en un point P quelconque on a : # — M1P = # — M2P Somme de deux torseurs : n T1 o + n T2 o = # — R1 # — M1M M + # — R2 # — M2N N = # — R1 + # — R2 # — M1P + # — M2P P Comoment de deux torseurs : Le comoment de deux torseurs est un invariant scalaire. n T1 o × n T2 o = # — R1 # — M1M M × # — R2 # — M2N N = # — R1 · # — M2P + # — R2 · # — M1P ∀P chacune des opérations précédentes nécessite de déterminer les moments résultants des deux torseurs en un même point. Celui-ci peut, bien-sûr, être choisi librement. 4 Torseurs particuliers Torseur nul : un torseur est dit nul s’il existe un point où ses éléments de réduction sont nuls. Ils le sont alors en tout point. ∀P : n 0 o = # — 0 # — 0 P Glisseur : un torseur est un glisseur s’il existe un point où son moment est nul. ∃P tq. : n G o = # — R # — 0 P Torseur couple : on appelle torseur couple un torseur dont la résultante est nulle. Le moment d’un tel torseur est indépendant du point où il est déterminé. ∀P : n C o = # — 0 # — MM M, P Remarque : l’automoment de ces différents torseurs est nul. V5BC 2 / 6 Lycée Leconte de Lisle 5 Axe central d’un torseur Définition : on appelle axe central d’un torseur, s’il existe, le lieu des points I où le moment est colinéaire à la résultante du torseur. Si l’on considère un torseur : n T o = # — R # — MM M avec # — R ̸= # — 0 l’axe central de n T o est donc l’ensemble des points I tels que : # — MI = λ # — R Propriétés : – L’axe central d’un torseur est une droite dont le vecteur directeur est la résultante du torseur. L’ensemble des points I de l’axe central ∆de n T o peut être obtenu par : ∀M : # — MI = # — R ∧# — MM ∥# — R ∥2 + µ # — R µ ∈I R – Le moment du torseur est le même en tout point de son axe central. i.e. : ∃λ ! tq. ∀I ∈∆, # — MI = λ # — R. On appelle λ le pas du torseur. Et l’on à : ∀M : λ = # — R · # — MM ∥# — R ∥2 – Le moment du torseur est minimal sur l’axe central (voir figure 1). Remarques : – Le moment sur l’axe central d’un glisseur est nul. – L’axe central n’est pas défini ni pour un torseur nul, ni pour un torseur couple. # — R # — MI = λ # — R # — MA = # — MI + # — R ∧# — IA I A ∆ Figure 1 – Torseur ; champ de vecteurs V91A 3 / 6 Lycée Leconte de Lisle Désignation Schéma (normalisation AFNOR) Caractéristiques n 2 →1 o de la liaison 2D 3D géométriques n V 2/1 o liaison sans frottement Encastrement 2 1 O z x y 1 2 aucune 0 0 0 0 0 0 B C, I X Y Z L M N B C ∀C ∀I I = C Pivot 1 2 O y z x 1 2 axe (O, # — x ) ωx 0 0 0 0 0 B C, I X Y Z 0 M N B C ∀C ∈(O, ⃗ x) ∀I ∈(C, ⃗ x) I = C Glissière 1 2 O z x y 2 1 direction # — x 0 0 0 vx 0 0 B C, I 0 Y Z L M N B C ∀C ∀I I = C Hélicoïdale 1 2 O y z x pas à droite 1 2 axe (O, # — x ) ωx 0 0 p 2 π ωx 0 0 B C, I X Y Z −p 2 π X M N B C ∀C ∈(O, ⃗ x) ∀I ∈(C, ⃗ x) I = C O : « centre » de la liaison C : points où le torseur s’écrit sous forme canonique I : points où le moment est identique à celui au point C Table 1 – Liaisons normalisées V91A 4 / 6 Lycée Leconte de Lisle Désignation Schéma (normalisation AFNOR) Caractéristiques n 2 →1 o de la liaison 2D 3D géométriques n V 2/1 o liaison sans frottement Pivot glissant 2 1 O y z x 2 1 axe (O, # — x ) ωx 0 0 vx 0 0 B C, I uploads/Marketing/ torseurs-pdf 1 .pdf
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- Publié le Jul 30, 2021
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