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Lycée Leconte de Lisle Les torseurs 1 Déﬁnition On considère un champ de vecteu

Lycée Leconte de Lisle Les torseurs 1 Déﬁnition On considère un champ de vecteurs, noté #— M, qui à tout point M associe le vecteur #— M M. Les propositions suivantes sont alors équivalentes : • Le champ de vecteurs #— M est équiprojectif . • Il existe un unique vecteur # — R tel que : ∀A,B : #— M B = #— M A + # — BA ∧# — R (1) Remarque Un moyen mnémotechnique pour retenir cette relation : BABAR • Le champ de vecteurs #— M est un torseur ; – de résultante : # — R, – de moment au point A : #— M A. # — R et #— M A sont appelés les éléments de réduction du torseur au point A. Remarques : • le champ des vecteurs vitesse dans un solide est un torseur (appelé torseur cinématique) : ∃! # — Ω1/0 tq. ∀A,B : # — V (B ∈1/0) = # — V (A ∈1/0) + # — BA ∧# — Ω1/0 • le champ des vecteurs accélération dans un solide n’est pas un torseur : ∀A,B : # — Γ (B ∈1/0) = # — Γ (A ∈1/0) + # — BA ∧ d # — Ω1/0 dt |R0 ... + # — Ω1/0 ∧( # — BA ∧# — Ω1/0) 2 Notation On note un torseur déﬁnit en A par le couple de vecteurs # — R et #— M A : n T o =    # — R #— M A    A =      Rx Ry Rz Mx My Mz      B A 6 coordonnées de # — R dans B 6 coordonnées de #— M A dans B Propriété : le moment d’un torseur peut être déterminé en tout point. On a donc : ∀A,B : n T o =    # — R #— M B    B =    # — R #— M A    A (avec : #— M B = #— M A + # — BA ∧# — R) V182D 1 / 6 Lycée Leconte de Lisle 3 Opérations sur les torseurs Automoment d’un torseur : on appelle automoment d’un torseur le produit scalaire de ses éléments de réduction. n T o =    # — R #— M A    A ∀A,B : # — R · #— M A = # — R · #— M B C’est un invariant scalaire ; c.-à-d. que son résultat ne dépend pas du point de réduction. Égalité de deux torseurs : n T1 o = n T2 o ssi      # — R1 = # — R2 en un point P quelconque on a : # — M1P = # — M2P Somme de deux torseurs : n T1 o + n T2 o =      # — R1 # — M1A      A +      # — R2 # — M2B      B =      # — R1 + # — R2 # — M1P + # — M2P      P Comoment de deux torseurs : n T1 o × n T2 o =      # — R1 # — M1A      A ×      # — R2 # — M2B      B = # — R1 · # — M2P + # — R2 · # — M1P ∀P C’est aussi un invariant scalaire ; il est indépendant du choix du point P. Attention Chacune des opérations précédentes nécessite de déterminer les moments résultants des deux torseurs en un même point. Celui-ci peut, bien-sûr, être choisi librement. 4 Torseurs particuliers Torseur nul : un torseur est dit nul s’il existe un point où ses éléments de réduction sont nuls. Ils le sont alors en tout point. ∀P : n 0 o =    # — 0 # — 0    P Torseur couple : on appelle torseur couple un torseur dont la résultante est nulle. Le moment d’un tel torseur est indépendant du point où il est déterminé. ∀P : n C o =    # — 0 #— M A    A, P Glisseur : un torseur est un glisseur s’il existe un point où son moment est nul. ∃P tq. : n G o =    # — R # — 0    P Remarque Pour montrer qu’un torseur de résultante non nulle est un glisseur, il suﬃt de vériﬁer que son automoment est nul. V182D 2 / 6 Lycée Leconte de Lisle 5 Axe central d’un torseur Déﬁnition : on appelle axe central d’un torseur, s’il existe, le lieu des points I où le moment est colinéaire à la résultante du torseur. Si l’on considère un torseur : n T o =    # — R #— M A    A avec # — R ̸= # — 0 L’axe central de n T o est donc l’ensemble des points I tels que : #— M I = λ # — R Propriétés : • L’axe central d’un torseur est une droite dont le vecteur directeur est la résultante du torseur. L’ensemble des points I de l’axe central ∆de n T o peut être obtenu par : ∀A : # — AI = # — R ∧#— M A ∥# — R ∥2 + µ # — R µ ∈I R • Le moment du torseur est le même en tout point de son axe central. i.e. : ∃λ ! tq. ∀I ∈∆, #— M I = λ # — R. On appelle λ le pas du torseur. Et l’on à : ∀A : λ = # — R · #— M A ∥# — R ∥2 • Le moment du torseur est minimal sur l’axe central (voir ﬁgure 1). Remarques : • Le moment sur l’axe central d’un glisseur est nul. • L’axe central n’est pas déﬁni ni pour un torseur nul, ni pour un torseur couple. # — R #— MI = λ # — R #— MA = #— MI + # — AI ∧# — R I A ∆ Figure 1 – Torseur ; champ de vecteurs V182D 3 / 6 Lycée Leconte de Lisle Désignation Schéma (normalisation AFNOR) Caractéristiques n 2 →1 o de la liaison 2D 3D géométriques n V 2/1 o liaison sans frottement Encastrement 2 1 O z x y 1 2 aucune        0 0 0 0 0 0        B C, I        X Y Z L M N        B C ∀C ∀I I = C Pivot 1 2 O y z x 1 2 axe (O, # — x )        ωx 0 0 0 0 0        B C, I        X Y Z 0 M N        B C ∀C ∈(O, # — x) ∀I ∈(C, # — x ) I = C Glissière 1 2 O z x y 2 1 direction # — x        0 0 0 vx 0 0        B C, I        0 Y Z L M N        B C ∀C ∀I I = C Hélicoïdale 1 2 O y z x pas à droite 1 2 axe (O, # — x )        ωx 0 0 p 2 π ωx 0 0        B C, I        X Y Z −p 2 π X M N        B C ∀C ∈(O, # — x) ∀I ∈(C, # — x ) I = C O : « centre » de la liaison C : points où le torseur s’écrit sous forme canonique I : points où le moment est identique à celui au point C Table 1 – Liaisons normalisées V182D 4 / 6 Lycée Leconte de Lisle Désignation Schéma (normalisation AFNOR) Caractéristiques n 2 →1 o de la liaison 2D 3D géométriques n V 2/1 o liaison sans frottement Pivot glissant 1 2 O y z x 2 1 axe (O, # — x )        ωx 0 0 vx 0 0    uploads/Marketing/ torseurs-pdf.pdf