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Chapitre Un Diﬀérentielle d’une Fonction 1.1 Rappels Soit f une fonction déﬁnie

Chapitre Un Diﬀérentielle d’une Fonction 1.1 Rappels Soit f une fonction déﬁnie de R →R et Df son domaine de déﬁnition. On dit que f est dérivable en un point x∗∈Df si et seulement si son taux d’accroissement noté par f(x)−f(x∗) x−x∗ admet une limite ﬁnie quand x →x∗. Cette limite notée f ′(x∗) ou Df(x∗) ou d f dx(x∗) est le nombre de dérivée ou la valeur de la dérivée de f en x∗. Théorème 1.1.1. . f dérivable en un point x∗⇐ ⇒f ′(x∗) est ﬁni. Exemple 1.1.1. . On donne f(x) = 2x2 + 1. Calculer Df(0) et Df(1). • Déterminer Df(0) Il suﬃt de comprendre que x∗= 0 f est déﬁnie sur R et 0 ∈R Par calcul, f(0) = 1 et lim x→0 f(x)−1 x = lim x→0 2x2 x = lim x→0 2x 1 = 0 Donc Df(0) = 0 • Déterminer Df(1) Posons x∗= 1 f est déﬁnie sur R et 1 ∈R Par calcul, f(1) = 3 et lim x→1 f(x)−3 x−1 = lim x→1 2x2−2 x−1 = lim x→1 2(x+1)(x−1) x−1 = lim x→1 2(x + 1) = 4 Cours de Mathématiques Générales 3 CERAP c ⃝Centre de recherche et d’action pour la paix / Pole univertaire Diﬀérentielle d’une fonction 2 Donc Df(1) = 4 Remarque 1.1.1. . Lorsque la dérivabilité de la fonction est connue d’avance en x∗, on détermine Df(x∗) par la méthode : ✓Calculer f ′(x). ✓Remplacer x par x∗dans l’expression de f ′(x). Remarque 1.1.2. . Dans ce chapitre, nous utiliserons les fonctions continuellement dérivables sur leurs Df ; c’est à dire des fonctions dérivables dont leurs dérivées sont continues Df 1.2 Diﬀérentielle d’une fonction 1.2.1 Cas des fonctions à une seule variable Considérons une fonction f de R →R continuellement dérivable sur son Df Déﬁnition 1.2.1. . Pour tout x∗∈Df on appelle diﬀérentielle de f en x∗, notée d f(x∗) l’expression : d f(x∗) = f ′(x∗)△x . Avec f ′(x∗) la dérivée de f en x∗et △x la variation de x à x∗. Par convention △x est notée dx. Remarque 1.2.1. . Pour déterminer la diﬀérentielle d’une fonction f en un point x∗, il faut : ✓Calculer la dérivée de la fonction f en ce point x∗. ✓Ajouter △x ou dx. Exemple 1.2.1. . Calculer la diﬀérentielle de f en tout point x et en déduire la diﬀérentielle au point 1 dans les cas suivants. a) f(x) = x + 3x2 −1 x b) f(x) = x3cos(xπ) Cours de Mathématiques Générales 3 CERAP c ⃝Centre de recherche et d’action pour la paix / Pole univertaire Diﬀérentielle d’une fonction 3 Solution b) f(x) = x3cos(xπ) f ′(x) = 3x2cox(xπ) −x3πsin(xπ), Sa diﬀérentielle en tout point est d f(x) = f ′(x)dx = [3x2cox(xπ) −x3πsin(xπ)]△x 0u d f(x) = [3x2cox(xπ) −x3πsin(xπ)]dx Et sa diﬀérentielle au point 1 est : f ′(1) = −3; donc d f(1) = f ′(1)△x = −3△x = −3dx Remarque 1.2.2. . Pour la fonction identité, f(x) = x, on a f ′(x) = 1 pour tout x ∈R Donc sa diﬀérentielle en tout point x est d f(x) = 1△x = △x 1.2.2 Cas de fonctions à plusieurs variables Considérons une fonction f de Rn →R continuellement dérivable sur un domaine Df Soit x∗= (x∗ 1, x∗ 2, · · · , x∗ n) ∈Df. On appelle diﬀérentielle de f en x∗, notée d f(x∗) l’expression linéaire en variation △x1, △x2, · · · , △xn déﬁnie par : d f(x∗) = f ′(x∗)△x . Donc on a : d f(x∗) = ∂f(x∗)△x1 ∂x1 + ∂f(x∗)△x2 ∂x2 , · · · , ∂f(x∗)△xn ∂xn Remarque 1.2.3. . Pour des raisons analogues à celles expliquées dans le cas d’une fonction d’une variable, on écrit généralement : d f(x∗) = ∂f(x∗)dx1 ∂x1 + ∂f(x∗)dx2 ∂x2 , · · · , ∂f(x∗)dxn ∂xn Où pour chaque valeur de i, avec 1 ≤i ≤n, dxi peut être considérée comme : ✓Soit comme une variation de la variable xi au départ de la valeur x∗ i (dxi = xi −x∗ i ). ✓Soit comme la diﬀérentielle de la fonction identité. Cours de Mathématiques Générales 3 CERAP c ⃝Centre de recherche et d’action pour la paix / Pole univertaire Equations aux variations diﬀérentielles 4 Exemple 1.2.2. . Calculer la diﬀérentielle de f au point S(x, y, z) dans les cas suivants puis en déduire celle au point A = (−1, 0, 1). a) f(x, y, z) = x2 −2y3 + z2 b) f(x, y, z) = xy + 2z3 −x2z3 + 2y2. Solution Traitons le cas en b) b) f(x, y, z) = xy + 2z3 −x2z3 + 2y2.              ∂f(x,y,z)(x,y,z) ∂x = y −2xz3 ∂f(x,y,z)(x,y,z) ∂y = x + 4y2 ∂f(x,y,z)(x,y,z) ∂z = 6z2 −3x2z2 Donc la diﬀérentielle est d f(S) = (y −2xz3)dx + (x + 4y2)dy + (6z2 −3x2z2)dz Enﬁn, la diﬀérentielle de f au point A = (−1, 0, 1) est : d f(A) = 2dx −1dy + 3dz 1.3 Equations aux variations diﬀérentielles Considérons une fonction      f : Rn →R x →f(x1, x2, · · · , xn) Soit l’équation : f(x1, x2, · · · , xn) = b avec b ∈R Déﬁnition 1.3.1. . On appelle équation linéaire approchée au point x∗= (x∗ 1, x∗ 2, · · · , x∗ n) de l’équation. f(x1, x2, · · · , xn) = b l’équation déﬁnie par : ∂f(x∗ 1, x∗ 2, · · · , x∗ n)(x1 −x∗ 2) ∂xn +∂f(x∗ 1, x∗ 2, · · · , x∗ n)(x1 −x∗ 2) ∂x2 , · · · , ∂f(x∗ 1, x∗ 2, · · · , x∗ n)(xn −x∗ n) ∂xn = 0 Remarque 1.3.1. . Puisque x∗= (x∗ 1, x∗ 2, · · · , x∗ n) est solution de l’équation f(x1, x2, · · · , xn) = b cette équation Cours de Mathématiques Générales 3 CERAP c ⃝Centre de recherche et d’action pour la paix / Pole univertaire Equations aux variations diﬀérentielles 5 déﬁnie l’équation de la tangente en x∗= (x∗ 1, x∗ 2, · · · , x∗ n) à la courbe de la fonction : f(x1, x2, · · · , xn) −b = 0. Exemple 1.3.1. . Pour f(x, y, z) = xy+2z3−x2z3+2y2 déterminer l’équation linéaire approchée au voisinage du point x = (1, −1, 0) de l’équation f(x, y, z) = 1 Solution D’après l’exemple précédent ;              ∂f(x,y,z)(x,y,z) ∂x = y −2xz3 ∂f(x,y,z)(x,y,z) ∂y = x + 4y2 ∂f(x,y,z)(x,y,z) ∂z = 6z2 −3x2z2 Ceci donne : ∂f(1,−1,0)(x−1) ∂x + ∂f(1,−1,0)(x+1) ∂y + ∂f(1,−1,0)(x−0) ∂z = −1(x −1) + 5(y + 1) = −x + 1 + 5y + 5 Donc l’équation linéaire approchée au voisinage du point x = (1, −1, 0) est : −x + 5y + 6 = 0 Déﬁnition 1.3.2. . On appelle équation aux variations diﬀérentielles associée en sa solution. x∗= (x∗ 1, x∗ 2, · · · , x∗ n) l’équation : ∂f(x∗ 1, x∗ 2, · · · , x∗ n)dx1 ∂x1 + ∂f(x∗ 1, x∗ 2, · · · , x∗ n)dx2 ∂x2 , · · · , ∂f(x∗ 1, x∗ 2, · · · , x∗ n)dxn ∂xn = 0 Remarque 1.3.2. . Partant de l’équation linéaire approchée au voisinage du point, on obtient l’équation aux variations diﬀérentielles associée en remplaçant xi −x∗ i = dxi avec 1 ≤i ≤n Exemple 1.3.2. . Pour f(x, y, z) = xy +2z3 −x2z3 +2y2 déterminer l’équation aux variations diﬀérentielles associée à l’équation f(x, y, z) = 1 au point x = (1, −1, 0) Solution En l’utilisant l’exemple (1.3.1) Cours de Mathématiques Générales 3 CERAP c ⃝Centre de recherche et d’action pour la paix / Pole univertaire Systèmes d’équations aux variations diﬀérentielles 6 l’équation aux variations diﬀérentielles associée à l’équation f(x, y, z) = 1 au point x = (1, −1, 0) est : ∂f(1,−1,0)(x−1) ∂x + ∂f(1,−1,0)(x+1) ∂y + ∂f(1,−1,0)(x−0) ∂z = −1dx + 5dy = 0 Remarque 1.3.3. . Dans le cas de deux variables, c’est à dire :      f : R2 →R x →f(x1, x2) Soit l’équation : f(x1, x2) = b avec b ∈R On dit que l’équation f(x1, x2) = b déﬁnit localement, au voisinage de x∗= (x∗ 1, x∗ 2) la variable y en fonction de la variable x si et seulement si : • Son équation linéaire approchée, en x∗= (x∗ 1, x∗ 2), déﬁnit explicitement la variable x1 en fonction de la variable x2. • Oubien son équation aux variations diﬀérentielles, en x∗= (x∗ 1, x∗ 2) déﬁnit explicitement la variable dy en fonction de la variable dx. Exemple 1.3.3. . En utilisant l’exemple ci-dessus (1.3.3), l’équation aux variations diﬀérentielles associée à l’équation f(x, y, z) = 1 au point x = (1, −1, 0) est : −1dx + 5dy = 0, ⇐ ⇒ 1dx uploads/Marketing/ chapitre-mathematique-differentielle-de-fonction.pdf